Cтраница 3
Это позволяет получить дополнительный признак оптимальности правого конца траектории. [31]
В этой главе изучаются необходимые условия локально оптимального в сильном смысле экстремума в задачах без ограничений на управление. Сначала устанавливаются необходимые условия для задач со свободным правым концом траектории. Затем приводится правило решения рассматриваемых задач в общем виде, которое позволяет изучить ряд частных случаев. [32]
Однако представляют определенный интерес задачи, в которых правый конец траектории подчинен ряду условий. [33]
Варианты теории возмущений, которые были изложены в предыдущих пунктах этого параграфа, являются достаточно удобными для решения задач со свободным концом. Но все необходимые расчеты крайне усложняются, когда координаты правого конца траектории должны удовлетворять дополнительным условиям. В этих задачах целесообразно модифицировать приведенные выше рассуждения. [34]
Предположим, что речь идет об отыскании решения задачи Коши для системы (6.27), и эта задача оказалась неустойчивой. Тогда, используя изложенную схему переноса граничных условий, мы можем перенести все условия на правый конец траектории ( эта процедура всегда может быть сделана устойчивой), после чего решить задачу Коши для системы (6.27) справа налево. [35]
Обратим внимание на то, что в такой постановке задачи отсутствуют ограничения на состояние. Ограничения на фазовые координаты х1 в момент tT не заданы, т.е. рассматривается задача со свободным правым концом траектории. [36]
Этот результат очень важен: поскольку перенос граничных условий всегда устойчив, то мы должны совершать его так, Чтобы задача Коши для уравнения (4.33) также была устойчива. Если, например, мы снова имеем задачу с фиксированными концами: х ( 0) х0, х ( Т) хт - и решение уравнения х Ах устойчиво, то граничные условия с правого конца траектории следует перенести на левый конец. Если решение неустойчиво; то граничные условия с левого конца следует перенести на правый конец и решать задачу Коши справа налево. [37]
Коши для уравнения (4.33) также была устойчива. Если, например, мы снова имеем задачу с фиксированными концами: х ( 0) х0, х ( Т) хт - и решение уравнения х - Ах устойчиво, то граничные условия с правого конца траектории следует перенести на левый конец. Если решение неустойчиво, то граничные условия с левого конца следует перенести на правый конец и решать задачу Коши справа налево. [38]
Оптимальная траектория представляет собой часть траектории или соединение частей двух траекторий из построенных семейств. В силу граничного условия на правом конце траектории x ( t /) 0 она должна оканчиваться в начале координат. Используя эти свойства оптимальных траекторий, нетрудно определить кривую переключения. Проиллюстрируем изложенное на простейшем примере. [39]
Пусть SQ ж0, т.е. левый конец траектории закреплен. То же самое относится и к правому концу траектории. [40]
Иногда в задачах оптимального управления конечное состояние системы х ( 7) х1 задается. В этом случае второе слагаемое функционала (4.8) есть величина постоянная и, следовательно, не влияет на его минимизацию. Такие задачи называются задачами с фиксированным правым концом траектории. Условие x ( T) Xj следует добавить в качестве дополнительного ограничения к условиям 14, определяющим множество допустимых процессов. Функционал (4.8) выбирается таким образом, чтобы содержательный смысл входящих в него слагаемых отвечал цели управления в конкретной задаче. [41]
Задачи теории оптимального управления, сводящиеся к краевым задачам для линейных систем, представляют из себя простейший класс задач этой теории. Чтобы получить их точное решение, достаточно решить несколько задач Коши. Следующий по трудности класс задач - это задачи со свободным концом. Тем не менее для решения задач со свободным концом разработаны эффективные приближенные способы. Они используют следующее замечательное свойство этого класса задач. Для получения точного решения задачи оптимального управления динамической системой, если она линейна по фазовой переменной и на правый конец траектории не наложено никаких ограничений, достаточно решить две задачи Коши. Подобно линейным задачам с квадратичным функционалом, задачи со свободным концом, линейные относительно фазовой переменной, играют роль основных элементов для построения итерационных схем расчета оптимальных программ. [42]