Cтраница 3
Поскольку е 3, то 5 / е 5 / 3, значит, для доказательства неравенства ( 4) достаточно доказать неравенство In 5 5 / 3, которое можно переписать в виде In 5 [ пе - Отсюда вытекает, что для доказательства неравенства ( 4) достаточно доказать неравенство 53 еъ. [31]
В курсе алгебры средней школы подробно описаны те основные свойства неравенств, которые необходимы для доказательства простейших неравенств. Учитывая то, что читатель знаком с этими свойствами, из большого числа простейших неравенств ниже приводятся те, которые в дальнейшем будут использованы при доказательстве более сложных неравенств. [32]
Зигмунда и / Лоценки для ограниченных подмножеств в OPS / 2, 1 / 2 для доказательства неравенств, из которых следует локальная разрешимость. Классы ОР5ф, ф также использовались для построения операторов, обратных к гипоэллиптическим; это обобщает результаты, которые мы установим в § 3 гл. [33]
Поскольку функции Vi и ( 9 принимают только два значения, 0 или 1, то для доказательства неравенства ( А. [34]
Полученные локальные оценки градиентов используются в этой главе для получения теорем лиувиллевского типа и ( в одном специальном случае) для доказательства неравенства Гарнака. Двусторонние лиувиллев - Ские теоремы, состоящие в утверждении, что всякое ограниченное по модулю или имеющее не слишком большой рост по модулю при р - оо решение есть тождественная константа, установлены в статьях [43] - для нелинейного уравнения Пуассона Ди / ( и, Vu) и [26] - для квазилинейных эллиптических уравнений вида aij ( Vu) их. [35]
Оказывается, что два свойства гладких отображений - ограниченность якобиана ( коэффициента растяжения рима-нова объема) и локальная гомеоморфность в точках, где якобиан отличен от нуля - уже достаточны для доказательства неравенства u ( f) S log deg / с помощью имитации простейшего рассуждения для накрытий, приведенного в начале этого пункта. Последнее доказательство мы воспроизводим здесь. [36]
Поскольку е 3, то 5 / е 5 / 3, значит, для доказательства неравенства ( 4) достаточно доказать неравенство In 5 5 / 3, которое можно переписать в виде In 5 [ пе - Отсюда вытекает, что для доказательства неравенства ( 4) достаточно доказать неравенство 53 еъ. [37]
Определим полное кодовое дерево как конечное кодовое дерево, в котором из каждого промежуточного узла исходят D узлов следующего более высокого порядка. Как можно заметить из доказательства неравенства Крафта, для полного кодового дерева неравенство Крафта удовлетворяется с равенством. [38]
Доказательства неравенств Иенсена, Коши - Бу-няковского, Ляпунова, Чебышева, данные в гл. Аналогично доказательство теоремы Чебышева ( закон больших чисел) в § 18 дано в такой форме, которая годится и для общего случая. Мы будем в дальнейшем пользоваться этими результатами, не проводя здесь еще раз доказательств, которые были даны в гл. [39]
Начальные сведения из теории выпуклых множеств излагаются во многи:: книгах по оптимизации и выпуклому анализу. Здесь впервые в учебнук литературу включены не только начала теории выпуклых множеств, но и кла1 сическая теория смешанных объемов, доведенная до полного геометрической доказательства неравенства Александрова - Фенхеля. Это особенно ценн сейчас, когда раскрылись новые связи теории смешанных объемов с алгеброк комбинаторикой и теорией случайных процессов. Книга отличается детальностью изложения и доступностью. Ею могут пользоваться не только специа листы, но и студенты младших курсов. [40]