Cтраница 1
Доказательство непротиворечивости этой системы - мы обозначим ее посредством ( S) - было проведено в два этапа: сначала мы рассмотрели выводы, обходящиеся без использования связанных переменных, а затем перешли к общему случаю, основанному на использовании всего исчисления предикатов в целом. [1]
Это доказательство непротиворечивости, конечно, теряет силу при добавлении другой группы постулатов, хотя бы эта группа сама по себе и была непротиворечивой. [2]
Чтобы доказательство непротиворечивости было убедительным, рассуждения, посредством к-рых оно получе-нд, должны носить настолько элементарный характер, чтобы в их правильности нельзя было усомниться. [3]
Это доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского не просто; оно проводится при помощи предъявления модели геометрии Лобачевского, в которой выполняются именно его аксиомы. Одна из таких моделей ( модель Клейна) изображает плоскость Лобачевского как внутренность круга, а прямые Лобачевского - как его хорды. Провести через точку круга много хорд, не пересекающихся с какой-либо данной хордой, не проходящей через эту точку, нетрудно. Проверка остальных аксиом геометрии в этой модели тоже не очень трудна, но трудоемка, так как этих аксиом много. Например, любые две точки внутри круга можно соединить прямой Лобачевского ( хордой), и притом только одной и так далее. Все это явно проделано в учебниках и занимает много ( скучных) страниц. [4]
Схема доказательства непротиворечивости состоит в следующем. [5]
Схема доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского излагается в § 3 настоящего Приложения. [6]
Тем самым доказательство непротиворечивости планиметрии Евклида завершено. [7]
Этот прием доказательства непротиворечивости весьма распространен в современной математике. [8]
Этот метод доказательства непротиворечивости системы ( S), а тем самым также и ( S), имеет существенное преимущество по сравнению с методом редукции, который мы использовали при доказательстве непротиворечивости ( S) в гл. Преимущество это заключается в том, что применимость его носит более универсальный характер. [9]
Для проблемы метаматематического доказательства непротиворечивости теорема 30 имеет своим последствием то, - что среди методов, на которых мы можем основывать доказательство, должны содержаться такие методы, которые не формализуются в системе. Это обстоятельство ставит метаматематика перед задачей употреблять методы финитного доказательства более мощные, чем те, которыми обыкновенно пользуются в элементарной арифметике. [10]
Теперь мы получим финитное доказательство непротиворечивости этой системы, воспользовавшись восходящей к Феликсу Клейну проективной моделью. [11]
Таким образом, доказательство непротиворечивости ограниченной арифметики представляет собой обоснование возможности пользоваться в некоторой мере ак туальной бесконечностью. [12]
Таким образом, метаматематическое доказательство непротиворечивости арифметики или классического анализа оказывается невозможным. [13]
Вследствие этого для искомого доказательства непротиворечивости достаточно показать, что для всякого нормированного доказательства можно подобрать такие значения фигурирующих в нем е-термов, при которых будут выполнены указанные условия для исходных формул. Те из исходных формул, которые получаются в результате подстановок из тождественно истинных или из верифицируемых формул, получают значение истина при любых значениях входящих в них е-термов. Поэтому мы должны специально позаботиться об исходных формулах, построенных по схеме равенства, и о критических формулах первого и второго рода. [14]
Параллельно с тем доказательством непротиворечивости, которое мы в начале гл. Действительно, мы установили, что полученное доказательство непротиворечивости остается в силе и в случае присоединения к этому формализму правила, позволяющего добавлять верифицируемые исходные формулы, а также вводить с помощью верифицируемых аксиом новые функциональные знаки. [15]