Cтраница 2
Иногда в наших доказательствах непротиворечивости используется один вид полной индукции, который не формализуется схемой индукции рекурсивной арифметики. Этот выход за рамки рекурсивной арифметики связан с тем, что в наших формулировках и доказательствах время от времени встречаются такие допущения, в которых говорится об истинности некоторых всеобщих предложений; таковы, например, предположение о невыводимости или о неопровержимости какой-либо формулы, или предположение о непротиворечивости какого-либо формализма, или же предположение о верифицируемоети какой-либо формулы, что, согласно определению, означает, что эта формула при любой замене свободных переменных цифрами оказывается истинной. Любое высказывание, содержащее такого рода предположение, представляет трудности и для финитного понимания. Как известно, финитное допущение всегда относится к какой-либо наглядно характеризуемой ситуации. Но истинность всеобщего предложения не может считаться таковой. Правда, вместо предположения, что рассматриваемое всеобщее предложение истинно, можно взять предположение о том, что истинность этого предложения установлена. [16]
Аккерман усилил изложенное здесь доказательство непротиворечивости; а именно, он указал некоторую верхнюю оценку для числа требующихся здесь общих замен. [17]
Основанное на этой интерпретации доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского безупречно. [18]
Тем самым мы завершили доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского и одновременно показали, что аксиома параллельности V Евклида не является следствием ак сиом I, i - 3, II-IV абсолютной геометрии. [19]
Тем самым мы завершили доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского и одновременно показали, что аксиома параллельности V Евклида не является следствием аксиом I, 1 - 3, II-IV абсолютной геометрии. [20]
При этом поначалу в доказательстве непротиворечивости возникает некоторый пробел, связанный с тем, что наша финитно-арифметическая модель дает приемлемую интерпретацию только для аксиом теории, но не для рассуждений, участвующих в доказательствах. Устранение этого пробела в дальнейшем как раз и достигается с помощью нашей нп-теоремы. [21]
Этот результат был воспринят как доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского. [22]
Доказательство этой теоремы получается совершенно аналогично доказательству непротиворечивости системы ( S), проведенному нами с использованием первой е-теоремы. [23]
На этом пути было получено одно из первых доказательств непротиворечивости А. [24]
Таким образом, оказывается, что трудность финитного доказательства непротиворечивости формализма всей арифметики определяется вовсе не тем, что в этом формализме содержится формализованная версия закона исключенного третьего. [25]
В точности такая же цепь рассуждений дает нам доказательство непротиворечивости исчисления предикатов. Однако для исчисления предикатов такое доказательство не будет принадлежать метаматематике, так как оценочная процедура, на которую опирается теорема 3.5, не является эффективной. Но непротиворечивость исчисления предикатов можно доказать и метаматематически, исходя из того обстоятельства, что оценочная процедура для фиксированной конечной области является эффективной, так как для предикатных букв и предметных переменных в конечной области существует лишь конечное количество приписываний. [26]
Больше того, как мы увидим ниже, доказательство непротиворечивости логического формализма ( или исчисления) может приводить и к собственно математическим результатам. Но особенно существенно, что в наши дни уже не может быть сомнений в том, что именно решение ряда наиболее трудных проблем математики требует специального исследования аппарата математического доказательства и алгоритмических методов математики. [27]
Прежде всего нужно было решить, какие методы доказательства непротиворечивости считать допустимыми. Ведь ясно, что нельзя пользоваться методами, которые сами вызывают сомнения. [28]
Ограничиваясь лишь конечными предметными областями, легко придать доказательству непротиворечивости исчисления предикатов вполне конструктивный характер. Благодаря возможности подобной интерпретации вопрос о непротиворечивости исчисления предикатов сводится к соответствующему вопросу для исчисления высказываний, решенному ранее. [29]
Из результатов о непротиворечивости формальных систем следует указать на доказательство непротиворечивости формализованной арифметики, к-рое опирается на бесконечную индукцию до нек-рого счетного трансфинитного числа. [30]