Cтраница 3
Достаточно указать, например, на изящно выполненные Лукасевичем доказательства непротиворечивости и независимости системы аксиом силлогистики и на целый комплекс логических изысканий в связи с решением проблемы разрешимости. Исследование Лукасевичем ассерторической силлогистики завершается именно решением этой проблемы, то есть доказательством существования таких групп аксиом и правил вывода, которые позволяют относительно любого осмысленного выражения силлогистики сказать, принимается ли оно в качестве истинного или же отбрасывается как ложное. [31]
Это не значит, что нельзя найти другие пути доказательства непротиворечивости арифметики. И действительно, Генцен 10 доказал ее, но его методы основаны на трансфинитной индукции. Я не стану объяснять здесь, что это такое, но вопрос о непротиворечивости самой трансфинитной индукции остается открытым. [32]
Интересно заметить, что, как и в случае генценовского доказательства непротиворечивости с помощью трансфинитной индукции до е0, анализ рассматриваемого нами доказательства непротиворечивости показывает, что оно в единственном его неэлементарном шаге зависит от использования предиката, определяемого посредством индукции, в индукционный шаг которой входят кванторы обоих родов, а именно, речь идет здесь о предикате истинности для арифметических формул. Мы сейчас определим этот предикат. [33]
Дискуссия по поводу расширения финитной точки зрения заканчивается рассмотрением генценовского доказательства непротиворечивости арифметического формализма. [34]
Но для упомянутой части арифметического формализма мы получаем не только доказательство непротиворечивости, но и всю нашу нп-теорему 4) в полном ее объеме. [35]
Тем самым, опираясь на нашу нп-теорему, мы получаем искомое доказательство непротиворечивости для сформулированных выше геометрических аксиом соединения, порядка, конгруэнтности и аксиомы о параллельных. [36]
Но логические проблемы, связанные с вопросами о парадоксах и доказательствами непротиворечивости и полноты, имеют смысл не только в плане устранения трудностей обоснования математики. Заметим, что приведенное выше описание построения научной теории в виде логического формализма, содержащего не только систему аксиом, но и правила образования понятий и вывода следствий, нуждается в некотором уточнении. Правильнее было бы сказать так: если в старом понимании формально-дедуктивной теории формулировался только первый - шаг индукции: задавались исходные понятия и предложения, та теперь формулируется и второй: задается способ, как, имея уже некоторый запас введенных понятий и доказанных предложений, получить с их помощью новые. Этот индуктивный прием построения современной формально-дедуктивной теории позволяет обозреть всю совокупность принадлежащих ей понятий и предложений и, таким образом, выяснить границы ее возможностей и характер дальнейшего развития, необходимого для преодоления этой ограниченности. Мы видим уже из этого, что создание общей теории дедуктивных формализмов диктуется и непосредственными потребностями математики. [37]
Ввиду этой аналогии напрашивается следующий вопрос: если бы удалось найти доказательство непротиворечивости в гильбертовском смысле для части классической математики, содержащей как действительные, так и идеальные предложения-могли бы мы тогда заключить, что действительные предложения, доказанные при помощи идеальных, истинны интуиционистски. Вопрос о том, в какой мере можно было бы прийти к такому заключению, мы рассмотрим впоследствии ( конец § 42, конец § 82); это будет зависеть от того, какие рассуждения охватываются доказательством непротиворечивости и какие предложения берутся в качестве действительных. В той мере, в какой это заключение было бы возможно, успешное выполнение гильбертовской программы позволило бы применять классическую математику в интуиционистских доказательствах. [38]
Гедель же показал тщетность таких поисков и доказал алгоритмическую неразрешимость проблемы доказательства непротиворечивости арифметической логики. Таким образом, в своей теореме о неполноте Гедель показал, что существует бесконечное число проблем элементарной теории чисел, решение которых невозможно никаким данным аксиоматическим методом. [39]
Следует подчеркнуть, что в указ, доказательствах речь идет о доказательстве непротиворечивости системы аксиом. [40]
В частности, имея в виду нужды теории функций, автор набрасывает эскиз доказательства непротиворечивости аксиомы Z е г m e 1 о аксиомам логики и арифметики, удостоверяя этим право пользоваться ею в анализе безвозбранно, не опасаясь могущего последовать какого-нибудь противоречия. [41]
Рассмотрим теперь с интуиционистской точки зрения, каким образом следствие 2 из теоремы 60 дает доказательство непротиворечивости для классической элементарной арифметики. Вторая часть этого доказательства состоит в явной или неявной проверке того, что интуиционистская формальная система для арифметики интуиционистски верна. [42]
Намеченные здесь доказательства непротиворечивости систем геометрических аксиом показывают, что мы вполне можем пользоваться идеями обычных доказательств непротиворечивости, производимых путем сведения к арифметике. [43]
Система обозначений, служащая для такого рода формализации математики, а также соответствующий общий подход и первые попытки доказательства непротиворечивости принадлежит самому Гильберту. [44]
Первый результат показывает, что не всякая задача разрешима даже в принципе, второй полностью зачеркивает предложенную Гильбертом программу доказательства непротиворечивости. [45]