Cтраница 3
Предположим, что z0 есть существенно особая точка интеграла. Докажем, следуя Пенлеве, что и это предположение-невозможно. Для этого мы применим доказательство, напоминающее приведенное выше доказательство теоремы единственности. [31]
В классической постановке этих задач область Q, в которой отыскивается гармоническая функция, предполагается замкнутой, например имеет касательную плоскость в каждой точке. Большинство практических задач не отвечает этим требованиям, например, область может быть ограничена кусочно-гладкой поверхностью. Поэтому во многих работах последнего времени обращается значительное внимание на доказательство теорем единственности в этих случаях. Однако работы, посвященные разбору этих задач, осложнены серьезным математическим аппаратом и доступны пока лишь узкому кругу специалистов. [32]
Таким путем коэффициенты каждого последующего из рядов ( 2) могут быть выражены через коэффициенты предыдущего ряда. Поставленная задача решена до конца. Читатель видит, что мы почти без изменений воспроизвели здесь ход доказательства теоремы единственности. Существенную роль в решении задачи сыграла цепь кругов Kj, в каждом из которых определена однозначная аналитическая функция fj ( z) ( сумма степенного ряда ( 2)), причем каждый последующий круг Kj l имеет общую часть с предыдущим Kj и в общей части значения функций fj 1 ( z) и fj ( z) совпадают. В следующем пункте мы рассмотрим обобщение такой цепи, где круги будут заменены произвольными выпуклыми областями. [33]
Этот метод позволил Бекенштейну ( 1972 а, Ь, с) доказать, что невозможно существование статической черной дыры, вне которой имеются регулярные массивные скалярное, векторное или тензорное поля, описываемые линейными уравнениями без источников. К сожалению, в общем случае доказать выполнимость этого условия не удается. Это является препятствием для проведения полного доказательства на том же уровне строгости, что доказательство теоремы единственности для электровакуумных черных дыр. [34]
После выхода первого издания настоящей книги авторам стало известно о работе Duffin R. Метод доказательства - отличный от указанного выше; упомянутые результаты относятся к статическим задачам и нашли интересные применения в доказательстве теорем единственности в задачах для полупространства ( см. гл. В работе Duffin [1] граничные задачи не рассматриваются. [35]
Для профилей, гладких всюду, кроме одной точки - так называемой острой задней кромки, в которой касательная к контуру имеет разрыв первого рода ( причем внутренний угол ( по телу крыла) - острый), таким условием является условие Жуковского-Чаплыгина. Последнее состоит в требовании непрерывности скорости потока на контуре профиля. Это условие однозначно определяет постоянную Г ( которая есть не что иное как циркуляция скорости на профиле), что может быть доказано с помощью конформного отображения внешности профиля на внешность единичного круга ( это, собственно говоря, решает прямую задачу), либо доказательством теоремы единственности [141], воспроизведенным в [19] для случая обтекания профиля сжимаемым газом. [36]
В работе Бухвальда и Тиффена ( Buchwald a. Tiff en [ I ]) изучается поперечный изгиб свободно опертой по краям неограниченной тонкой пластинки, когда срединная поверхность ее представляет собой полуплоскость или прямолинейную полосу. Условия свободного опирания по контуру, как было указано выше, вырождаются на его прямолинейных участках, а это позволяет авторам найти решение для рассматриваемых случаев элементарно, в интегралах типа Коши и интегралах Фурье. Рассмотрение авторов включает доказательство теоремы единственности упругого состояния, справедливой при известных условиях на бесконечности, и подробное решение для одного частного случая ( внутренних) сосредоточенных нагрузок. [37]