Cтраница 4
До недавнего времени серьезные применения нелинейных эллиптических дифференциальных уравнений к геометрии и топологии явно отставали. Многие из них связаны с минимальными поверхностями. Например, данное Шеном и Яу доказательство гипотезы положительной массы в общей теории относительности опирается на свойства уравнений минимальной поверхности и приводит к следующей геометрической теореме: если фундаментальная груша трехмерного многообразия М содержит подгруппу, изоморфную фундаментальной группе компактной поверхности рода др. 1, то М не допускает метрики положительной скалярной кривизны. Примерно в это же время Микс и Яу нашли с помощью минимальных поверхностей новые доказательства леммы Дена ( теоремы о петле) и теоремы о сфере - двух фундаментальных результатов трехмерной топологии и, что более важно, получили новый результат - так называемую теорему об эк-вивариантной петле. [46]
Гомеоморфизмы в так называемой С - топологии неустойчивы среди всех непрерывных отображений, в отличие от диффеоморфизмов, которые в С1 - топологии образуют открытую область в пространстве отображений. Однако даже диффеоморфизм, С 0-близкий к тождественному, может быть очень сложен, и его весьма трудно продеформировать в единичный среди гомеоморфизмов. Это обстоятельство сыграло, как будет указано ниже, важную роль в топологии. В конце 1960 - х гг. был найден подход к доказательству гипотезы кольца сведением к гладкой ( Р1) - топологии гомотопических торов ( Керби); необходимые задачи из теории гомотопических торов почти сразу были решены Уол-лом, Зибенманом, Сяном, Шейнсоном и Кассоном. Изложим здесь идею Керби. [47]
К настоящему времени октаэд-ричсская координация кобальта установлена рентгеноструктур-пымн исследованиями очень большого числа кристаллических кобальтамминов; однако когда такое строение было впервые предложено, оно далеко не являлось общепризнанным. Тем не менее оно хорошо согласовывалось с существованием и количеством изомеров многих комплексов. Например, октаэдриче-скип комплекс СоА4В2 может существовать только в виде двух изомеров ( цис - и транс -), тогда как для гексагональной или тригонально-призматической моделей их должно быть три. И то обстоятельство, что многочисленные комплексы такого состава были выделены только в двух изомерных формах, являлось сильным косвенным доводом в пользу октаэдрической модели. Демонстрация оптической активности КзСо ( С2О4) 3 убедительно подтвердила октаэдрическую направленность связей, образуемых атомом Со. Тем не менее любопытен факт, что некоторые химики не считали расщепление солей типа К3Со ( С2О4) з и [ Co ( NH2CH2CH2NH2) 3 ] Br3 на оптические изомеры доказательством гипотезы Вернера. Продолжало существовать убеждение, что оптическая активность каким-то образом зависит от присутствия в комплексе органического радикала. [48]
Теорема о петле относится к случаю, когда вложенная кривая у является негомотопнрй нулю петлей в ЭМ. В комбинации с леммой Дена получаем традиционную формулировку: если ядро гомоморфизма 1C ( ЭМ) - 1С ( М) нетривиально, то в многообразии М существует вложенный диск, граница которого расположена в ЭМ. Наконец, теорема о сфере утверждает, что в случае, когда многообразие М ориентируемо и ТГ2 ( - М) 0, в нем существует вложенная нестягиваемая двумерная сфера Sz, Микс и Яу получили геометрические версии этих теорем для компактных многообразий. А именно, они доказали, что при подходящих метриках на М ( которые всегда существуют) можно так выбрать вложенные диски в ле № ме Дена и в теореме о петле и вложенную сферу S2 в теореме о сфере что они будут иметь минимальную площадь. Существуют эквивариантные формулировки этих теорем, приводящие к доказательству гипотезы Смита: если группа 2, действуе. [49]