Cтраница 2
Чтобы теснее связать теорему Вейерштрасса с кругом идей Чебышева, можно дать ей алгебраическое доказательство. [16]
Доказательство этой теоремы зависит от так называемой основной теоремы алгебры, не имеющей чисто алгебраического доказательства. [17]
Если предположить, что функцию / можно разложить в ряд Маклорена, то можно дать другое алгебраическое доказательство П - теоремы, понять которое, быть может, легче. Мы приведем здесь это доказательство и некоторые связанные с ним результаты, чтобы полнее разъяснить понятие однородности по размерности. [18]
Мы не доказываем здесь критерия Гурвица. Алгебраическое доказательство сравнительно сложно ( см., например, Курош А. Г. Курс высшей алгебры. Значительно проще доказательство, основанное на редукции, которая, не переводя корней характеристического уравнения через мнимую ось, удаляет один из них в бесконечность слева от мнимой оси. Такое доказательство сравнительно несложно, но проведение его требует знания деталей характера отображений мнимой оси плоскости корней на пространство коэффициентов характеристического уравнения ( см. А и з е р - ман М. А. Теория автоматического регулирования. [19]
Если / (), то при помощи преобразований Тице один из образующих и единственное определяющее соотношение могут быть удалены, и, следовательно, фундаментальная группа свободна и имеет ранг 2g - fr - 1 или g - - r - 1 соответственно. Это дает алгебраическое доказательство инвариантности рода. Это показывает, что группа Jii ( Afg) не свободна. Тот факт, что группа ni ( Sg) не является свободной, может быть доказан разными способами. [20]
Таким образом, геометрически ясно, что условие леммы можно выразить в терминах некоторой Q-линейной комбинации однопа-раметрических подгрупп: попросту аир должны лежать по разные стороны гиперплоскости, ортогональной к вектору К. Читателю следует провести алгебраическое доказательство. Путем умножения на общий знаменатель коэффициентов мы можем вернуться в Т ( Г), получив подгруппу А, удовлетворяющую нужным условиям. [21]
Методологически более выдержанным было бы прямое алгебраическое доказательство, использующее формулы перехода от одной координатной системы к другой. [22]
Оба способа доказательства, по сути дела, одинаковы, но алгебраическое доказательство короче. [23]
Возможно, методы теории автоматов не очень приятны для изучения, но они развивают интуицию и создают основу для получения дальнейших результатов. Основная теорема декомпозиции сначала была доказана при помощи автоматов и только после того, как справедливость ее стала очевидной, появилось алгебраическое доказательство. [24]
В этом параграфе мы докажем основную структурную теорему для модулей над полупростыми алгебрами Ли характеристики 0 и получим наиболее существенные следствия этой теоремы. Основная теорема принадлежит Вейлю и была доказана им с помощью трансцендентных методов, основанных на связи между алгебрами Ли и компактными группами. Первое алгебраическое доказательство было дано Казимиром и Ван-дер - Варденом. Доказательство, которое мы приводим здесь, принадлежит в основном Уайтхеду. [25]
Недаром Гаусс неоднократно возвращался к основной теореме и дал для нее целых четыре доказательства. Естественно попытаться свести к минимуму атрибутику математического анализа и максимально алгебраизировать все рассуждения. Такое алгебраическое доказательство, восходящее к Эйлеру, Лагранжу, Гауссу и Лапласу, приобрело со временем каноническую форму, согласующуюся с общей теорией Галуа. [26]
Из того факта, что т / т - область целостности, легко следует, что и А - область целостности. D, где приведено чисто алгебраическое доказательство леммы А. [27]
Доказательство в основном будет опущено, так как это простое алгебраическое упражнение. Правило образования ориентированной границы ориентированного симплекса сразу же приводит к такому заключению. Мы не будем излагать здесь алгебраического доказательства, но читателю предлагается проверить эту лемму в случаях 2-симплекса и 3-симплекса, использовав сокращение 0-симплексов и 1-симплексов соответственно. [28]
Ни одна из перечисленных проблем не подходит для такого построения. Возможно, что допускается вычисление с помощью линейной алгебры пересечения сферы с плоскостью или двух сфер, однако для того, чтобы открыть, что эти пересечения являются окружностями, нужно знать, что такое реальная сфера в реальном пространстве. Разумеется, можно с помощью алгебраического доказательства убедиться, что радиус окружности равен длине стороны вписанного в нее правильного шестиугольника, однако такое доказательство может понравиться лишь тому, кто стремится затемнить все существенное. Линейная алгебра не только совершенно непригодна для того, чтобы открыть возможность замощения плоскости конгруэнтными треугольниками; с ее помощью это утверждение почти невозможно доказать. Можно было бы проиллюстрировать почти на всех разобранных выше примерах, насколько бессильны в них методы линейной алгебры. [29]
Недаром Гаусс неоднократно возвращался к основной теореме и дал для нее целых четыре доказательства. Естественно попытаться свести к минимуму атрибутику математического анализа и максимально алгебраизировать все рассуждения. Такое алгебраическое доказательство, восходящее к Эйлеру, Лагранжу, Гауссу и Лапласу, приобрело со временем каноническую форму, согласующуюся с общей теорией Галуа. [30]