Cтраница 3
Оказывается, что полиэдральные выпуклые множества - это в точности то же самое, что Конечнопорожденные выпуклые множества. Этот классический результат является ярким примером утверждения, совершенно очевидного с точки зрения геометрической интуиции, но имеющего важное алгебраическое содержание и отнюдь не тривиально доказываемого. Доказательство, которое мы дадим, основано на теории фасадов выпуклых множеств. Такой подход к теореме вскрывает причины интуитивной убежденности в ее справедливости. Возможно также и чисто алгебраическое доказательство, которое требует менее сложного технического аппарата. [31]
Существуют и некоторые другие типы ассоциативных алгебр, теория которых может быть построена с достаточной полнотой ( хотя бы, в предположениях конечной размерности и простоты) и которые имеют математические применения. Но никакой общей теории неассоциативных алгебр ( сопоставимой, в этом смысле, с теорией ассоциативных алгебр или алгебр Ли) до сих пор не существует. Но тогда возникает вопрос: Каковы те естественные ограничения, при которых такая теория существует. Тестовой задачей может здесь служить вопрос о строении неассоциативных тел над R. Однако алгебраическое доказательство этого результата неизвестно. [32]
Оценка A произвольной формулы А определяется как пересечение для Л, пополнение объединения для V, стандартной конструкцией Крипке для импликации D, пересечение по d для V и пополнение пересечения по d для 3; J о. Для каждой формулы А ( и общее, секвенции ( Г - Д)) строится модифицированная модель Бета М такая, что истинность А в М ( то есть A Т) эквивалентна выводимости А. L ( A) [ соответственно, R ( A) ] - это множества тех точек р Е Т, где А входит в левую ( соответственно, в правую) часть секвенции. Стандартный результат о соответствии полученной оценки дереву поиска вывода, из которого она была извлечена, принимает вид: L ( A) С A; R ( A) П A С о. Эти соотношения влекут за собой полноту ( даже для универсальной модели одной для всех формул) и устранимость сечения. Интуиционистское доказательство) изложено алгебраическое доказательство устранения сечения из классической логики второго порядка, которое локально ( то есть для сечений ограниченной сложности) формализуемо в интуиционистской арифметике второго порядка. Как указывает автор, обобщение на простую теорию типов не представляет трудностей. Полная гейтинговская алгебра открыто-замкнутых множеств некоторого дерева ( обозначим ее через 7i), использованная в упомянутом доказательстве, превращается здесь в полную булеву алгебру Л / с помощью модифицированного негативного перевода. [33]