Cтраница 3
Если, однако, желательно математическое доказательство, то мы приведем и его. [31]
Лусс и Амундсен [194] приводят математическое доказательство того, что для простых изотермических реакций 1 порядка коэффициент эффективности сферической гранулы будет наименьшим по сравнению с гранулами любой другой формы того же объема. Они приводят также график, показывающий, как при постоянном объеме гранулы коэффициент эффективности изменяется с изменением диаметра или длины цилиндрической гранулы и с изменением размеров гранулы, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда. Согласно их данным, например, при низком значении т) скорость реакции на цилиндрической грануле с Lid 8: 1 примерно на 65 % выше, чем для сферической гранулы равного объема. [32]
Это наглядное рассуждение легко превратить в математическое доказательство. Очевидно, объем стружки ( это и есть допускаемая погрешность) меньше разности между объемами цилиндрических пластинок, одна из которых имеет основание а Ь и высоту оо dx, а другая - основание ab и ту же высоту Остается доказать, что упомянутая разность еоть бесконечно малая высшего порядка. [33]
Разумеется, я не собираюсь приводить здесь математическое доказательство того, что показатель Ричардсона D является размерностью. Честно говоря, я не представляю, как можно провести такое доказательство в рамках какой бы то ни было естественной науки. Я хочу лишь обратить внимание читателя на тот факт, что понятие длины ставит перед нами концептуальную задачу, а показатель D предоставляет удобное и изящное решение. Тому, кто все еще считает D 1, придется теперь постараться, если он пожелает доказать свою правоту. [34]
Для установления этого необходимо более или менее сложное математическое доказательство. Все чисто словесные правдоподобные доводы были бы неубедительны и сомнительны. [35]
Это хорошо известный и очень мощный метод математического доказательства, называемый доказательством Зт противного или reductio ad absurdum ( сведение к абсурду), в котором сначала полагается истинным утверждение, исключающее исходное, затем из этой предпосылки выводится противоречие, которое и служит доказательством справедливости исходного утверждения. [36]
Для решения своих проблем кинетика принимает без математического доказательства в качестве аксиом некоторые основные законы движения. Математических доказательств этих законов не существует, хотя законы эти настолько просты, что кажутся очевидными. Под аксиомами механики мы не будем понимать какие-то непреложные и настолько очевидные истины, что даже доказательства их совершенно излишни. Они представляют собой результат обобщения выводов, полученных из многолетних и многочисленных опытов и наблюдений над движением и покоем тел. У нас нет возможности проверить их непосредственно и мы располагаем лишь косвенными доказательствами. Мы видим, что следствия, вытекающие из этих аксиом, подтверждаются наблюдениями: сооружения, построенные на основании законов механики, прочны, машины работают, приборы и аппараты действуют, корабли плавают, самолеты летают, запущенные нами космические корабли выходят на предписанные им орбиты, а затмения Солнца и Луны происходят в точности так, как это было заранее предсказано. Все это является доказательством правильности всех положений механики ( в частности ее аксиом), на основе которых были рассчитаны эти сооружения, сконструированы машины и произведены астрономические вычисления, потому что верные практические результаты могут быть получены только из правильных предпосылок. [37]
Вышеприведенные соображения, разумеется, не являются математическим доказательством, но они лод-сказывают идею математического решения задачи. Это будет видно из следующего примера. [38]
Конечно, все подобные рассуждения не являются математическими доказательствами, а служат лишь для наглядного пояснения формулы Стокса. [39]
Приведенное построение интегрального канонического представления не является математическим доказательством возможности построения такого представления для любого случайного процесса, однако они расширяют наши знания о структуре процесса. В главе 7 будет показано, как получать интегральные канонические представления для одного важного класса случайных процессов - стационарных случайных процессов. [40]
Таким образом, суждение о том, что математическое доказательство в докартезианской математике еще не было так жестко связано с классической логикой, центральным в которой является закон исключенного третьего, и что доказательство в докартезианской математике совершенно не предполагало интуитивную ясность оснований, представляется в историко-философском плане вполне корректным. [41]
От слишком поспешного использования аналогий, не подкрепленных математическими доказательствами, предостерегает пример, содержащийся в нижеследующем упражнении. [42]
Мы не будем здесь касаться трудного вопроса о математическом доказательстве существования решений этих задач, а докажем только, что если решение данной задачи существует, то оно единственно. [43]
Этот пример показывает опасность использования аналогий, не подкрепленных математическими доказательствами. [44]
Имеется несколько критериев устойчивости; все они основаны на сложных математических доказательствах. Здесь приводится только алгебраический критерий устойчивости для системы третьего порядка. По этому критерию система будет устойчива. [45]