Cтраница 3
Случай конъюнктивных нормальных форм рассматривается точно так же. Только что проведенное доказательство, если в нем всюду заменить дизъюнкции на произведения и наоборот, становится доказательством 5.3 для случая конъюнктивной нормальной формы. Тем самым теорема 5.3 полностью доказана. [31]
Рассмотрим самосопряженный оператор В - А. Согласно только что проведенному доказательству число - т представляет собой собственное значение оператора В. [32]
Рассмотрим самосопряженный оператор В - А. Согласно только что проведенному доказательству число - т представляет собой собственное значение оператора В. [33]
Это непосредственно видно из проведенного доказательства. [34]
Во избежание недоразумений отметим существующее исключение из этого правила: сверхтекучий жидкий гелий не может вращаться как целое. Это явление будет рассмотрено в томе IX этого курса; здесь укажем лишь, что проведенное доказательство в этом случае непригодно, так как распределение скоростей подчиняется дополнительному условию ( потенциальности сверхтекучего движения), при котором и должен отыскиваться максимум энтропии. [35]
Во избежание недоразумений отметим существующее исключение из этого правила: сверхтекучий жидкий гелий не может вращаться как целое. Это явление будет рассмотрено в другом томе этого курса; здесь укажем лишь, что проведенное доказательство в этом случае непригодно так как распределение скоростей подчиняется дополнительному условию ( потенциальности сверхтекучего движения), при котором и должен отыскиваться максимум энтропии. [36]
Операция векторного умножения тогда должна быть выполнена первой и только затем уже производится скалярное умножение. Из проведенного доказательства видно, что смешанное произведение не изменяется при любой циклической перестановке векторов и умножается на - 1 при перемене места двух векторов. Кроме того, эта величина сохраняется при перестановке символов X и и становится равной нулю, когда два вектора-сомножителя равны или параллельны, либо когда один из векторов является линейной комбинацией двух других. В любом из трех последних случаев все три вектора будут компланарны и объем параллелепипеда окажется равным нулю. [37]
Если я представлю себе познание как драгоценное сокровище, то абстракция суждения будет представлять собой лишь лист бумаги, указывающий на наличие этого сокровища, но не дающий сведений, в каком месте оно обретается. Единственная ценность этого листа бумаги может состоять только в том, что он побуждает меня искать сокровище. Но что же это за суждение, которое, взятое само по себе, лишено всякого смысла, и получает смысл лишь на основании проведенного доказательства, только и гарантирующего истинность суждения. [38]
Можно, разумеется, доказать утверждение для некоторого пп0; сделать индукционный шаг и в результате получить, что это утверждение справедливо для всех целых п, больших или равных исходному числу пд. Естественно, что в таком случае предположение индукции имеет соответственно измененный вид: именно, мы предполагаем, что доказываемое утверждение справедливо при nk - пй. Наконец, следует понимать, что при значениях п п0 утверждение может быть как верным, так и неверным; во всяком случае, каких-либо заключений о его справедливости при 1 п Г п0 из проведенного доказательства методом математической индукции сделать нельзя. [39]
Существенное продвижение в этом направлении предпринял Грин [11], продемонстрировавший в качестве генератора планов законченную систему доказательства теорем методом резолюции. Согласно этому подходу, начальная ситуация, целевая ситуация и результаты применения имеющихся операторов описываются в виде множества аксиом исчисления предикатов первого порядка. Далее с помощью принципа резолюции доказывается предположение, что существует ситуация, удовлетворяющая описанию цели. Побочным результатом успешно проведенного доказательства является план последовательного преобразования начальной ситуации в целевую. [40]
Для завершения доказательства нам нужно показать, что изометрия гиперболической плоскости Я2, оставляющая неподвижными все точки некоторой геодезической / и не меняющая местами ее сторон, является тождественным отображением. Так как изометрия у сохраняет углы, то она должна сохранять геодезическую m и, таким образом, оставлять все точки кривой m на месте. Поскольку любая точка гиперболической плоскости Я2 лежит на некоторой геодезической, проходящей через точку Р, отсюда следует требуемый результат. Заметим, что из проведенного доказательства следует, что всякая изометрия гиперболической плоскости пред-ставима в виде произведения не более чем трех отражений. [41]
Предыдущие четыре раздела не дали полной картины содержания последующих четырех частей; многие вопросы, представляющие определенный интерес, остались неупомянутыми. Чтобы не увеличивать чрезмерно объем работы и справиться с массой деталей, пришлось в отдельных местах, которые представляются менее важными, отказаться от подробного обсуждения и ограничиться кратким эскизом. Дело в том, что не только определения, но также формальные вычисления и даже эвристические рассмотрения иногда оказываются более важными, чем подробные доказательства, и поэтому больше всего пострадали последние. В частности, при рассмотрении нескольких аналогичных предложений приводится лишь одно доказательство, а другие предоставляются читателю, быть может, с указанием отличий от проведенного доказательства. [42]
Вопрос, существует ли числовая последовательность со свойством ( §, или нет, не имеет определен кого смысла, так как понятие закона, определяющего до бесконечности некоторую последовательность ( выражаясь в терминах первой части), не объем-неопределенно. Но мы более не растягиваем этого понятия на прокрустовом ложе конструктивных принципов; если нам удается каким-либо, свободным от порочного круга путем построить закон желательного нам вида, то мы вправе утверждать, что подобный закон существует. Здесь, таким образом, речь идет вовсе не о возможности построения - подобные экзистенциальные утверждения мы можем высказывать лишь об уже удавшихся построениях уже проведенных доказательствах. Отрицательное суждение, что такого закона не существует, при этом, разумеется, теряет всякий смысл. [43]