Cтраница 2
При каком необходимом и достаточном условии Дна гиперболоида имеют общий асимптотический конус. [16]
На рис. 140, помимо гиперболоида, показан его асимптотический конус вращения, образованный вращением асимптот гиперболы, являющейся образующей гиперболоида. Во внешней части этого конуса и расположен однополостный гиперболоид. [17]
Эта теорема позволяет разделить особые точки на классы по типу асимптотического конуса: гиперболические - асимптотический конус действительный невырожденный; эллиптические - асимптотический конус мнимый; цилиндрогиперболические-конус вырождается в пару плоскостей; цилиндроэллиптические - конус вырождается в прямую; плоские - конус вырождается в сдвоенную плоскость; вполне вырожденные - асимптотический конус не определен. [18]
Поэтому уместно называть такие поверхности эллшгтико-гиперболическими, описанными около своего асимптотического конуса. Итак, эти поверхности составляют для нас второй род. [19]
По какой линии однополостный гиперболоид рассекается касательной плоскостью к его асимптотическому конусу. [20]
Однополые и двуполые гиперболоиды определяются с точностью до гомотетии заданием их асимптотического конуса. [21]
Легко видеть, что и обратно, каждая плоскость, отсекающая от асимптотического конуса этот объем, пересекает конус по эллипсу, центр которого лежит на рассматриваемом двуполом гиперболоиде. Действительно, эта плоскость может быть с помощью некоторого гиперболического поворота сделана перпендикулярной к оси вращения. При этом вследствие равенства отсекаемых объемов эта плоскость совпадет с плоскостью, проходящей через соответствующую вершину перпендикулярно к оси, и, значит, центр сечения совпадет с этой вершиной. Но тогда обратный гиперболиче ский поворот, возвращающий его в центр исходного эллипса, оставит его, вместе с тем, на поле того же гиперболоида. [22]
Таким образом, проведенные выше рассуждения показывают, что двуполый гиперболоид с заданным асимптотическим конусом второго порядка можно определить как геометрическое место центров оснований цилиндров одинакового объема, опирающихся на этот конус, а сопряженный однополый гиперболоид - как геометрическое место средних эллипсов этих цилиндров. [23]
Диаметральная плоскость центральной поверхности второго порядка, сопряженная к асимптотическому направлению, касается асимптотического конуса по образующей этого направления. Диаметральная же плоскость, сопряженная к неасимптотическому направлению пересекает асимптотический конус по двум различным образующим. [24]
При этом производящая ( ось кинематической пары диады), должна быть параллельна производящей асимптотических конусов. [25]
При аффинном преобразовании, переводящем гиперболоид - а значит, по доказанному, и его асимптотический конус - в себя, этот цилиндр перейдет снова в цилиндр, опирающийся на конус, а центр его основания или, соответственно, средняя линия останется на гиперболоиде; таким образом, цилиндр, соответствующий выбранной точке или выбранному сечению, перейдет в цилиндр, соответствующий образу этой точки или этого сечения. [26]
Эта теорема позволяет разделить особые точки на классы по типу асимптотического конуса: гиперболические - асимптотический конус действительный невырожденный; эллиптические - асимптотический конус мнимый; цилиндрогиперболические-конус вырождается в пару плоскостей; цилиндроэллиптические - конус вырождается в прямую; плоские - конус вырождается в сдвоенную плоскость; вполне вырожденные - асимптотический конус не определен. [27]
Ясно, что других плоскостей, проходящих через точку ( лг0, 0, о) и касающихся асимптотического конуса, нет, так как прямая, соединяющая центр с точкой ( л о, у о, 20), сопряжена только к двум асимптотическим направлениям. [28]
При полном обороте производящей линии si 2nR, а величина р равна углу сектора, получающегося от развертки асимптотического конуса. [29]
Ясно, что образующей, по которой диаметральная плоскость, сопряженная к асимптотическому направлению, касается, согласно доказанному, асимптотического конуса, служит образующая именно этого направления. Действительно, эта образующая, будучи параллельна рассматриваемой диаметральной плоскости и имея с ней общую точку - центр, целиком содержится в этой плоскости; других же образующих последняя плоскость по доказанному не содержит. [30]