Cтраница 2
Аналогия состоит в том, что когда одна из этих координат меняется от - оо до оо, то полевая конфигурация меняется и граничные ус - х ловия на - оо и оо различны, подобно тому как это изображено на рис. ЮЛ и 10.3 в случае кинка для уравнения синус - Гордона. [16]
Однако из масштабного аргумента раздела 7.2 следует, что в теории с таким лагранжианом статических солитонов не существует: энергия полевой конфигурации уменьшается при уменьшении ее размера. [17]
В самом деле, поля общего вида, удовлетворяющие этому ус-условию, называются чистой калибровкой; их можно получить из тривиальных полевых конфигураций В 0 калибровочными преобразованиями. [18]
Напомним, что лагранжиан (5.36), потенциал (5.37) и уравнение поля (5.38) трансляционно-инвариантны. Рассмотрим произвольную полевую конфигурацию f0 ( х), не обязательно являющуюся решением полевого уравнения. Как сама функция ф0 ( х), так и полученные из нее трансляциями функции ф0 ( х - а) для всех действительных а имеют одинаковую потенциальную энергию V [ ф0 ( х - а) ], не зависящую от а. Аналогичным образом семейство полученных трансляциями функций ф0 ( х - а) для всех а образует одно-параметрическую кривую в том же пространстве. Все ее точки имеют одинаковую потенциальную энергию V [ фй ( х) ], поэтому она является эквипотенциальной кривой. Понятно, что все пространство полей состоит из таких эквипотенциальных кривых. Некоторые из них могут быть тривиальными, состоящими только из одной точки. Это соответствует случаю, когда ф0 ( х) не зависит от х; при этом все полученные трансляциями функции одинаковы. [19]
Каким образом полевые конфигурации, несущие только электрический заряд, могут перестроиться и имитировать магнитный заряд. [20]
В качестве примера будем изучать процесс, в котором два векторных бозона с энергией Е в системе центра масс превращаются в п векторных бозонов и при этом система переходит из одного калибровочного вакуума в соседний. Топологическое число Q полевых конфигураций, ответственных за этот процесс, должно быть равно единице. [21]
Отображения, принадлежащие одному и тому же классу, могут быть непрерывно продеформированы друг в друга, а принадлежащие разным классам - не могут. Это означает, что полевые конфигурации, интерполирующие между топологически различными вакуумами, не могут иметь вид (13.14); при промежуточных временах эти конфигурации имеют ненулевую энергию. Вакуумы с различными топологическими числами п разделены энергетическим барьером. [22]
Калибровочное поле ставит в соответствие каждой пространственно-временной точке х величину Т ( х) из калибровочной группы. Можно сказать, что две полевые конфигурации гомотопны, и выполняется соотношение 55, если они могут быть переведены одна в другую непрерывным преобразованием. Очевидно, что это соотношение является соотношением эквивалентности; таким образом, все-калибровочные поля можно разбить на гомотопические классы. Число гомотопических классов бесконечно, но счетно, так что поля можно нумеровать целым числом п в соответствии с номером гомотопического класса, к которому они принадлежат. Величина QK называется квантовым числом Понтрягина, или топологическим ( спиральным) квантовым числом. Название в скобках связано с кратностью отображения четырехмерной сферы на группу. [23]
Существует несколько подходов к квантованию теории поля. Наиболее часто используется операторный метод квантования, при котором классическим полевым конфигурациям соответствуют операторы, удовлетворяющие каноническим перестановочным соотношениям. Существует, однако, и другой подход, в котором квантовая динамика описывается континуальным интегралом - суммой по всем полевым конфигурациям. Фейнман впервые сформулировал последовательную явно релятивистски инвариантную теорию возмущений для квантовой электродинамики. Этот формализм оказывается наиболее удобным для квантования калибровочных полей, так как принцип относительности учитывается в нем наиболее просто: следует интегрировать не по всем полевым конфигурациям, а только по калибровочно эквивалентным классам. [24]
Эти секторы топологически1 не связаны в том смысле, что поля одного сектора не могут переходить непрерывным образом в поля другого, не нарушая требования конечности энергии. В частности, так как эволюция во времени является примером такого непрерывного перехода, полевая конфигурация любого сектора с течением времени остается внутри него. Естественно, при наличии одного минимума U ( ф) возможно только одно значение как для ф ( оо), так и для ф ( - оо); поэтому существует только один сектор решений. [25]
Однако, даже при малых д скирмион является метастабильным, а не абсолютно стабильным. Чтобы убедиться в том, что энергетический барьер между скирмионом и вакуумом конечен, построим путь в пространстве полевых конфигураций с конечной энергией, начинающийся в вакууме и оканчивающийся на скирмионе. Пример такого пути нам в действительности известен - это антиинстантон, переведенный в калибровку AQ О, плюс последующий путь вдоль чисто калибровочных конфигураций. [26]
Но излучение спектральных линий из плазмы обычно практически невозможно зарегистрировать локально из объема с характерными микроразмерами, и поэтому регистрируется одновременно излучение из разных микрообъемов. Поскольку вероятность реализации поля заданного значения и направления в пространстве разная, это равносильно усреднению контура наблюдаемых спектральных линий по возможным полевым конфигурациям с разными значениями и направлениями микрополя, что и приводит в какой то мере к сглаженному - уширенному контуру. [27]
Существует несколько подходов к квантованию теории поля. Наиболее часто используется операторный метод квантования, при котором классическим полевым конфигурациям соответствуют операторы, удовлетворяющие каноническим перестановочным соотношениям. Существует, однако, и другой подход, в котором квантовая динамика описывается континуальным интегралом - суммой по всем полевым конфигурациям. Фейнман впервые сформулировал последовательную явно релятивистски инвариантную теорию возмущений для квантовой электродинамики. Этот формализм оказывается наиболее удобным для квантования калибровочных полей, так как принцип относительности учитывается в нем наиболее просто: следует интегрировать не по всем полевым конфигурациям, а только по калибровочно эквивалентным классам. [28]
В противоположность перечисленным выше попыткам, возможная более консервативная позиция состоит в том, чтобы заявить, что для масштабно-инвариантных четырехмерных неабелевых калибровочных полей такие квазиклассические подходы тщетны. В общем случае для квазиклассических методов необходима слабая связь, в то время как в этих калибровочных теориях неизбежно появляется сильная связь на больших расстояниях. В функциональном интеграле для сильной связи ( который аналогичен высокотемпературной функции распределения) могут быть априори существенными не только инстантоны или мероны, но по существу все полевые конфигурации. Если ситуация такова, то любое ква-зиклассическое вычисление, которое выделяет некоторое подмножество ( классических) конфигураций, может быть бессмысленным. С точки зрения квазиклассических вычислений эта позиция является пессимистической, но она вполне может оказаться правильной. В защиту инстантонов следует отметить, что эта проблема - как обращаться с сильной связью на больших расстояниях - не является специфичной для таких квазиклассических методов. Та же проблема встречается в большинстве исследований по неабелевым калибровочным теориям, включая попытки доказать конфайнмент кварков. [29]
Состояние ф, Ах) фаз не является уже собственным состоянием поля, но оно является максимально приближенным к последнему объектом, который мы можем построить в физическом подпространстве состояний. В результате ограничений за счет закона Гаусса координатами системы являются только сами классы, а не индивидуальные конфигурации. Используя эти принципы, сравним нашу калибровочную полевую теорию с ЗПП. Каждый класс эквивалентности полевых конфигураций ( эквивалентных только относительно малых калибровочных преобразований) играет роль координаты положения q в ЗПП. В частйости, для заданных в (10.38) конфигураций с нулевой энергией каждый класс эквивалентности таких конфигураций имеет аналогом одну из точек q 2Nn в ЗПП. Сейчас мы увидим, что классификация эквивалентности в множестве (10.38) оказывается той же, что и его гомотопическая классификация. Заметим, что для каждой функции eia w в силу (10.38) имеется свой потенциал Ах. [30]