Cтраница 3
Таким образом, возвращаясь к нашей О ( З) - модели, статические конфигурации ф ( х) с конечной энергией в двумерном пространстве могут быть разделены на гомотопические секторы, характеризуемые некоторыми целыми значениями Q. Отметим, что природа гомотопической классификации решений отличается здесь от рассмотренной в гл. Хотя вектор ф ( 0 должен принимать одно и то же значение во всех точках пространственной бесконечности, он может иметь любое внутреннее направление. Полевые конфигурации с различными направлениями ф связаны непрерывным образом О ( З) - вращениями во внутреннем пространстве. Поэтому различный выбор фт не ведет сам по себе к различным гомотопическим секторам О ( З) - модели. Возникновение секторов связано с поведением полей в пространстве, включая внутреннее пространство. [31]
Короче говоря, для каждого Q мы имеем отдельную амплитуду, которая может быть вычислена с использованием любой граничной функции eto ( e, принадлежащей данному сектору Q. Конечно, даже после выбора определенной функции е ( а е) все еще остается некоторая калибровочная свобода. Тогда при учете (10.56) граничная функция е а ( е не изменяется. Следовательно, множество полей, по которым производится интегрирование, остается тем же. Такие калибровочные преобразования просто переставляют связанные калибровочными преобразованиями полевые конфигурации, каждая из которых дает один и тот же вклад ехр ( - SE - rf, Лц ]) - Хорошо известно, что желательно устранить этот избыток за счет прибавления члена, фиксирующего калибровку. Этот аспект детально обсуждался еще в литературе по доинстантонной калибровочной теории ( см., например, [85]), и нет необходимости детально рассматривать его здесь. [32]
Существует несколько подходов к квантованию теории поля. Наиболее часто используется операторный метод квантования, при котором классическим полевым конфигурациям соответствуют операторы, удовлетворяющие каноническим перестановочным соотношениям. Существует, однако, и другой подход, в котором квантовая динамика описывается континуальным интегралом - суммой по всем полевым конфигурациям. Фейнман впервые сформулировал последовательную явно релятивистски инвариантную теорию возмущений для квантовой электродинамики. Этот формализм оказывается наиболее удобным для квантования калибровочных полей, так как принцип относительности учитывается в нем наиболее просто: следует интегрировать не по всем полевым конфигурациям, а только по калибровочно эквивалентным классам. [33]
В заключение этой главы обратим еще раз внимание на следующий замечательный факт. Более того, казалось бы, должно резко возрасти и многообразие решений, если допустить существование черных дыр и связанных с ними изменений причинной структуры пространства-времени. Однако парадоксальным образом, как это было показано выше, происходит обратное. Класс возможных решений резко суживается и допускает при некоторых ограничениях полное описание. Физическая причина этого в том, что гравитационное поле универсально и действует на любую материю, обладающую энергией-импульсом. При возникновении черной дыры гравитация возрастает настолько, что для равновесия физических полей вблизи нее должны выполняться крайне жесткие условия, по сути дела, эквивалентные тому, что полевая конфигурация не обладает степенями свободы, способными распространяться, что и приводит к указанному упрощению общей картины. [34]