Cтраница 3
В этом случае некоторая точка области D, должна перейти в бесконечно удаленную, следовательно, отображающая функция z ( w) должна в области Dw иметь полюс. В силу требования конформности отображения этот полюс должен быть простым. Таким образом, в отличие от предыдущего, здесь нужно искать функцию, аналитическую в Dw за исключением одной точки), где она имеет простой полюс. [31]
Используется то, что в точке С нарушается конформность отображения ( см. рис. 12.1, ж и рис. 12.1, з) и dw / diQ в этой точке. [32]
Отображение, осуществляемое аналитической функцией / ( z), будет конформным во всех точках, в которых f ( z) регулярна. В особых же точках функции / ( z) конформность отображения нарушается. [33]
Коши - Римана представляют собой необходимые и достаточные условия конформности отображения, причем сохраняется не только величина, но и направление углов. [34]
Как было отмечено, при конформном отображении области Q комплексной плоскости z на область G плоскости w, осуществляемом аналитической в Q функцией / (), устанавливается взаимно однозначное соответствие этих областей. Тем самым условие однолистности функции f ( z) в области Q является необходимым условием конформности отображения. Оказывается, что это условие является и достаточным. [35]
Итак, однолистность однозначной аналитической функции в области Q является важнейшим условием конформного отображения. Как будет показано ниже ( см. теорему 6.3 - принцип взаимно однозначного соответствия), это условие является необходимым и достаточным условием конформности отображения. [36]
В этом последнем случае каждой точке z односвязной области G соответствует определенная точка w некоторой односвязной области Т плоскости w, и, обратно, каждой точке области Т отвечает единственная точка в области G. Естественно возникает вопрос: может ли в случае взаимно однозначного соответствия производная / ( г) обращаться в нуль и, таким образом, нарушаться конформность отображения. На этот вопрос мы уже ответили отрицательно, показав, что при взаимно однозначном отображении области G производная / ( г) нигде в области G не равна нулю ( гл. [37]
Поэтому до сих пор было проведено лишь самое общее изучение этих преобразующих функций. Тем не менее, по-видимому, можно показать, что годографические преобразования являются контактными преобразованиями. Пока это положение основывается только на интуитивных предпосылках, а также на свойстве конформности отображений; для его строгого доказательства требуется явное определение функций преобразования и их последующая проверка. [38]
Мы знаем, что отображение области О плоскости z на плоскость w, выполняемое с помощью функции wf ( z), аналитической в G, будет конформным во всех точках г, где производная / ( г) не равна нулю. В этом последнем случае каждой точке z односвязной области О соответствует определенная точка w некоторой односвязной области Т плоскости w, и, обратно, каждой точке области Т отвечает единственная точка в области О. Естественно возникает вопрос: может ли в случае взаимно однозначного соответствия производная f ( z) обращаться в нуль и, таким образом, нарушаться конформность отображения. На этот вопрос мы уже ответили отрицательно, показав, что при взаимно однозначном отображении области G производная / ( z) нигде в области О не равн & нулю ( гл. [39]
Конечно, предполагается, что полюсы этих сеток расположены в начале координат. Рассмотрим теперь преобразования полярных сеток с полюсами в других точках. Если интерпретировать полярную сетку как поле источника, то ее характер сохраняется при отображении. Конформность отображения сказывается в первую очередь вблизи источника, тогда как по мере удаления от него линии равного потенциала и тока все более и более искажаются по сравнению с исходными. Такую сетку можно рассматривать как поле источника, искаженное внешними условиями. [40]
Оставим на некоторое ирсмн в стороне обсуждение преобразований Шварца и приведем пример на применение метода инверсии к двухмерным системам. Плоскость z показана на фиг. Из предыдущего параграфа известно, что если произвести инверсию относительно точки О, то обе проходящие через нее окружности превратятся в прямые лилии, пересекающиеся в силу конформности отображения ортогонально. [41]