Cтраница 2
Формулы ( 9) - ( 11) называются формулами преобразования аффинных координат. [16]
Если начало координат остается на месте, но меняется базис, то аффинные координаты точек преобразуются так же, как координаты их радиус-векторов, то есть по формулам § 5 гл. [17]
Ясно, что каждому вектору соответствует вполне определенный набор аффинных координат, и обратно - каждому набору аффинных координат соответствует ровно один вектор. [18]
Чтобы преобразованием аффинных координат привести уравнение ( 1) к наиболее простому виду, можно, например, перейти сначала от данных аффинных координат к некоторым прямоугольным ( при этом преобразовании уравнение ( 1) сохранит свой вид, но, конечно, его коэффициенты изменятся), а затем уже известным нам образом перейти от этих прямоугольных координат к прямоугольным каноническим координатам. Если при этом получились канонические уравнения [1] - [5] из таблицы на стр. [19]
С содержательной точки зрения координатами X: Y: Z на евкли-дово-проективной плоскости являются однородные евклидовы координаты, получающиеся из евклидовых ( прямоугольных) координат х, у точно так же, как однородные аффинные координаты получались выше из аффинных. [20]
Во-вторых, после классического разрезания проективной плоскости по бесконечно удаленной прямой надо немедленно приступить к построению теории векторов, максимально используя при этом следствия аксиом связи, порядка, непрерывности и параллельности евклидовой геометрии, а затем ввести аффинные координаты. При этом оказывается возможным избежать дублирования соответствующего раздела евклидовой геометрии и по ходу действия установить полноту системы аксиом аффинной геометрии. Кроме того, строгое геометрическое обоснование теории векторов также весьма полезно. Установив полноту системы аксиом проективной геометрии, основные ее факты можно получить в аналитической реализации. [21]
Система аффинных координат построена на четырех базисных точках объекта, координаты которых неизвестны, они являются искомыми в неизвестной системе. Задача сводится к переходу от аффинного пространства к евклидовому. Таким образом, для решения задачи необходимы дополнительные данные для определения искомого прео б-разования координат. Ясно, что такими данными должны являться измеренные расстояния между точками на фотоснимках в принятом масштабе, в котором будет построена ортогональная система. [22]
Ет выбрана некоторая система аффинных координат и пусть К - конус векторов с неотрицательными компонентами. [23]
Однако эта конструкция комплексной плоскости зависит от выбора в обычной плоскости некоторой аффинной координатной системы, так что, строго говоря, мы получаем не одну комплексную плоскость, а столько, сколько существует различных аффинных координатных систем. Хотя, пользуясь формулами преобразования аффинных координат, эти комплексные плоскости можно друг с другом отождествить, все же значительно удобнее и изящнее дать определение комплексной плоскости, не зависящее от выбора в обычной плоскости аффинной системы координат. [24]
Очевидно, что при переходе к новым аффинным координатам вид уравнений ( 8) меняется. Кроме того, данная плоскость Пт в данной системе аффинных координат может задаваться различными системами уравнений. Это ясно, поскольку для системы ( 8) имеется бесконечное множество других, эквивалентных ей систем. [25]
Например, в случае поля С преобразование, переводящее каждую точку в точку, имеющую ( в данной координатной системе) комплексно-сопряженные координаты, сохраняет, очевидно, огаошение коллинеарности, но автоморфизмом ( преобразованием по равенству аффинных координат) не является. [26]
Аналогичный вид, разумеется, имеет P ( f) на множестве точек, где xi ф О, i любое. XQ 0, которые Р ( f) переводит в эту гиперплоскость. Если таких точек нет, то в терминах аффинных координат ( Уь, Уп) на P ( L) 0 0 мы получаем аффинное отображение. Инвариантное объяснение этого дает следующий результат. [27]
Предыдущие формулы были получены с использованием скалярного произведения. Поэтому могут возникнуть сомнения относительно их справедливости в аффинной системе координат, но из изложенного ранее известно, что аффинные координаты не меняются при аффинном преобразовании пространства. [28]
Рассмотренные ранее примеры относились к простейшему применению уравнений коллинеарности. При более сложных задачах приходится решать системы нелинейных уравнений с большим числом неизвестных; В дальнейшем потребуется теорема: аффинные координаты сфотографированных точек не меняются при параллельном перенесении плоскости проекций. [29]
Базисные векторы аффинной системы координат фотоснимка построены на точках, которые являются фотографиями некоторых точек пространства. Лучи, проходящие через эти точки, пересекаются в центре проекций. Поэтому при параллельном перемещении плоскости проекций в сечении с проецирующими лучами образуются подобные фигуры. Так как аффинные координаты являются множителями для базисных векторов в разложении вектора по базису, то в преобразовании подобия аффинные координаты являются коэффициентами подобия, а это и доказывает теорему. [30]