Cтраница 3
Мут [14], 118 - 125; Ф. Р. Гантмахер и М. Г. Крейн [141], 48 - 50), из которой следует также, что главные оси определяются однозначно в том и только в том случае, если отличные от нуля корни характеристического уравнения а - Г / / 0 будут простыми. Корню кратности р отвечает / 7-мерная плоскость, в которой любые р взаимно ортогональных векторов определяют систему р главных осей тензора atj. [31]
Мы получили второе линейно независимое решение, соответствующее двукратному корню. Случай корня кратности, большей двух, рассматривается аналогично. [32]
В случае корней кратности т появятся множители t 1 - 1 перед экспонентами или косинусами - колебания будут неограниченно нарастать. [33]
Это легко следует из инвариантности уравнения (10.32) относительно преобразований координат. Так как А-инвариант и корень кратности k уравнения (10.34), то система уравнений (10.32) относительно любой координатной системы имеет ровно k линейно независимых решений. [34]
Случай кратных корней характеристического уравнения практически встречается редко и не требует применения особых методов иследования. Действительно, если среди корней характеристического уравнения встречается, например, корень кратности т, то т уравнений системы ( h) или ( о) предыдущего параграфа будут алгебраическими следствиями остальных уравнений. При этом можно определить N - m неизвестных через остальные т, которые могут быть выбраны произвольно. Конечно, эти неизвестные следует выбирать так, чтобы удовлетворялись условия ортогональности. [35]
Поверхность X имеет кривую особых точек, прообраз которой при нормализации не гладок. Формулы те же, что и в случае С, но многочлен c ( t) имеет один корень кратности 2 и два - простых. [36]
График квадратичной функции пересекается с осью Оу в точке у с. В случае, если Ь2 - 4ас; 0, график квадратичной функции пересекает ось Ох в двух точках ( различные действительные корни квадратного уравнения); если Ь3 - 4ас 0 ( квадратное уравнение имеет один корень кратности 2), график квадратичной функции касается оси Ох в точке х - - W ( 2a); если и2 - 4ас 0, пересечения с осью Ох нет. [37]
Элемент а основного поля К ( или его расширения) называется fe - кратным корнем А. Корни кратности 1 называются также простыми корнями уравнения. [38]
При х 1 многочлен положителен, так как все сомножители, стоящие в левой части равенства, положительны. При переходе через точку х 1 многочлен меняет свой знак и становится отрицательным, так как х 1 - корень кратности 3; при переходе через точку х - 0 многочлен знака не меняет, так как х 0 - корень кратности 2; при переходе через точку х - 2 многочлен опять меняет знак и становится положительным. [39]
При х 1 многочлен положителен, так как все сомножители, стоящие в левой части равенства, положительны. При переходе через точку х 1 многочлен меняет свой знак и становится отрицательным, так как х 1 - корень кратности 3; при переходе через точку х - 0 многочлен знака не меняет, так как х 0 - корень кратности 2; при переходе через точку х - 2 многочлен опять меняет знак и становится положительным. [40]
В дальнейшем мы будем предполагать, что эти нули многочлена D ( х) не являются нулями многочлена N ( х); в противном случае мы бы сократили дробь, разделив оба ее члена на проходящую степень двучлена ( х - а), если число а есть общий нуль. Мы уже говорили о том, что в таком случае следовало бы дополнить определение функции, принимая за ее значение при х а то значение ( возможно нулевое или бесконечное), которое принимает сокращенная дробь и которое называют истинным значением заданной функции в точке а. После того, как сокращение дроби сделано, каждый корень знаменателя, который называется полюсом функции, является для графика абсциссой асимптоты, параллельной к оси Оу. Перемена знака, которому подвергается знаменатель, если корень нечетной кратности, и сохранение знака, если корень имеет четную кратность, определяют положение кривой по отношению к асимптоте. [41]
Алгебраическое уравнение ( 2) называется действительным, если все его коэффициенты ц - действительные числа. Соответствующий действительный многочлен / ( х) при всех действительных значениях х принимает действительные значения. В теоремах ( Ь) - ( 5) корень кратности m рассматривается как то корней. [42]
Рассмотрим теперь способ практического нахождения базиса, существование которого доказано в теореме. Выбрав некоторый ( удобнее, если ортонормированный) базис, составляем матрицу А данного преобразования. Находим корни ее характеристического многочлена det ( A - Я. Для простых корней кетривиальнреч решение системы остается пронормировать. Для корня кратности s мы получаем фундаментальную систему из s решений. Это - линейно независимые собственные векторы, но они, вообще говоря, не ортогональны. [43]
Рассмотрим теперь способ практического нахождения базиса, существование которого доказано в теореме. Выбрав некоторый ( удобнее, если ортонормированный) базис, составляем матрицу данного преобразования. Находим корни ее характеристического многочлена det ( А - КЕ) 0 и для каждого корня находим собственные векторы, решая систему уравнений ( А - КЕ) Ъ, - о. Для простых корней нетривиальное решение системы остается пронормировать. Для корня кратности s мы получаем фундаментальную систему из s решений. Это - линейно независимые собственные векторы, но они, вообще говоря, не ортогональны. [44]
Действительные алгебранческне уравнения и их корни. Алгебраическое уравнение ( 2) называется действительный, если все его коэффициенты ai действительные числа. Соответствующий действительный многочлен f ( a) при всех действительных значениях х принимает действитеяынге значения. L) полезны нижеследующие теоремы. В теоремах ( tj - Ш корень кратности т рассматривается, как т корней. [45]