Cтраница 2
Интересно отметить, в каких случаях полной системой инвариантов является система корней определяющих уравнений для всех особых точек. [16]
Существуют три типа различных решений дифференциального уравнения ( 1) в зависимости от корней определяющего уравнения. [17]
Кроме этого члена, оно содержит степенной ряд, начинающийся с члена xa-k, где a - k - второй корень определяющего уравнения. [18]
Допуская, что ряд W ( z p сходится для каждого выбранного частного значении р, увидим, что если п корней определяющего уравнения независимы, и никакие два из них не различаются па целое число, то каждогиу числу р соответствует определенна последовательность коэфнцисптов сч, а всего получается л независимых решений, образующих фундаментальную систему. [19]
Выбирая р чл и q i, можно достигнуть того, чтобы в особых точках 2 0 и 21 один из корней определяющего уравнения был равен нулю, что мы и будем считать в дальнейшем. [20]
Выбирая р al и q pt, можно достигнуть того, чтобы в особых точках z 0 и г 1 один из корней определяющего уравнения был равен нулю, что мы и будем считать в дальнейшем. [21]
Обозначим через аир корни определяющего уравнения в точке 2 оо. [22]
Обозначим через а и р корни определяющего уравнения в точке г со. [23]
Таким образом, из предыдущего видим, что группа уравнения вполне определяется системой K2 ( s - 1) - Ь 1 инвариантов. Такими инвариантами могут быть, например, корни определяющих уравнений для различных особых точек. [24]
Аналогичное замечание приложимо и к особым точкам z 1 и zoo. В дальнейшем мы не будем рассматривать случая, когда корни определяющего уравнения отличаются на целое число. [25]
Второй, не интересующий нас интеграл, соответствующий меньшему значению корня определяющего уравнения, может при разложении содержать логарифмический член, поскольку разность - ( п 1) - п целочисленна. Так как ближайшая особая точка лежит в бесконечности, ряд, соответствующий взятому нами первому интегралу, везде сходится и представляет собой целую трансцендентную функцию. [26]
Таким образом, все шесть решений, которые мы определили в окрестности каждой из особых точек, выражаются через гипергеометрический ряд. Заметим, что во всех предыдущих вычислениях мы считали, что разность корней определяющих уравнений отлична от целого числа. Заметим, что решение ( 64) имеет смысл и тогда, когда f есть целое положительное число. [27]
Мы видим таким образом, что все шесть решений, которые мы определили в окрестности каждой из особых точек, выражаются через гипергеометрический ряд. Заметим, что во всех предыдущих вычислениях мы считали, что разность корней определяющих уравнений отлична от целого числа. Заметим, что решение ( 64) имеет смысл и тогда, когда f есть целое положительное число. [28]
Предположим, что они отличны друг от друга и разность между ними - нецелое число. В этом случае можно последовательно вычислить два ряда коэффициентов ах, соответствующих каждому корню определяющего уравнения. Общий интеграл уравнения получается в виде линейной комбинации этих двух решений. [29]
В каждой из них определяющее уравнение имеет один корень, равный нулю. Обозначим через ( р - 1) и ( q - 1) вторые корни определяющего уравнения в указанных точках, причем считаем, что р и q не суть целые числа. [30]