Cтраница 3
Решить уравнения х3 - 7л 2 12х - 10 0 и х3 - Юл: 2 - - 2л: 20 0, если известно, что один из корней первого уравнения в два раза меньше одного из корней второго уравнения. [31]
Ясно, прежде всего, что первые два уравнения имеют дарни. Пусть ос, р - корни первого уравнения, и пусть шенно корень а является также корнем второго урав-гения. По условию числа ос и р являются также корнями ретьего уравнения. [32]
Каждое из них имеет по крайней мере один корень. Известно также, что все корни первого уравнения являются корнями третьего уравнения и хотя бы один корень первого уравнения удовлетворяет второму уравнению. [33]
В этом параграфе рассматриваются примеры равносильных переходов. Эти уравнения назы - ваются равносильными, если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения, и, наоборот, любой корень второго уравнения является корнем первого уравнения. В силу этого определения равносильны любые два уравнения, не имеющие корней. [34]
Каждое из них имеет по крайней мере один корень. Известно также, что все корни первого уравнения являются корнями третьего уравнения и хотя бы один корень первого уравнения удовлетворяет второму уравнению. [35]
Что происходит с корнями при этом переходе. Очевидно, прежде всего, что второе уравнение является следствием первого: если число а - корень первого уравнения, т.е. f ( a) g ( a), то [ / ( a) ] 2 [ g ( a) ] 2, т.е. а - корень второго уравнения. Таким образом, при возведении в квадрат корни не теряются, но посторонние корни появиться могут. [36]
Каждое из них имеет по крайней мере один корень. Известно также, что каждый из корней первого уравнения является корнем третьего уравнения и по крайней мере один из корней первого равнения удовлетворяет второму уравнению. [37]
Поскольку преобразования, которые мы совершаем над уравнениями, связаны с - возможностью потери ила приобретения посторонних корней, очень важным является понятие эквивалентности, или равносильности, уравнений. Два уравнения называются эквивалентными, если все корни первого уравнения являются также корнями второго уравнения, и наоборот, все корни второго уравнения являются также корнями первого. Иначе говоря, уравнения эквивалентны, если они имеют только общие корни. Уравнения, каждое из которых не имеет ни одного корня, следует считать эквивалентными. [38]
Правильное ее применение состоит в том, что если в какой-то ситуации А справедливо, то делается вывод о справедливости В. Для всякого квадрата посылка истинна; значит, в квадрате диагонали равны. Распространенная ошибка в математических рассуждениях состоит в том, что к высказыванию А, истинность которого не установлена, применяется правильная теорема А-В и из истинности предложения В делается вывод об истинности А. О возникающей здесь ситуации можно сказать еще так: Из неверного утверждения верными методами можно получить верный результат ( но нельзя, конечно, верными методами получить из верного утверждения неверный результат. Обратно, если нам известны все корни первого уравнения, то это не означает, что мы знаем все корни второго уравнения: переход от уравнения Q ( A) O к уравнению Р ( х) 0 может сопровождаться потерей корней. В этом случае уравнения называются равносильными; множества корней таких уравнений совпадают. [39]