Cтраница 1
Посторонние корни можно выделить, например, непосредственной проверкой ( подстановкой всех корней нового уравнения в исходное), но сделать это иногда трудно. Потеря же корней недопустима, так как решить уравнение - значит найти все его корни или показать что уравнение решений не имеет. Чтобы избежать потери корней и проверки, на неизвестные и параметры во время преобразований накладывают дополнительные ограничения, при которых новое уравнение будет равносильным исходному только на области допустимых значений переменных для исходного уравнения. Такой переход от одного уравнения к ему равносильному называется равносильным ( эквивалентным) на этой области переходом от одного уравнения к другому. В этом случае достаточно проверить, удовлетворяют или нет все найденные корни нового уравнения введенным ограничениям. Если нельзя или трудно указать дополнительные условия и поэтому не удалось избежать неравносильных действий, сужающих или расширяющих область допустимых значений переменных, то необходимо сделать проверку корней. Можно разбить область допустимых значений переменных на части, на каждой из них решить уравнение, а затем, объединив все найденные решения, получить множество решений исходного уравнения. [1]
Посторонние корни часто можно отсеивать по ходу решения уравнения, накладывая на ту или иную части уравнения дополнительные ограничения. [2]
Посторонние корни могут появиться также при умножении обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, если этот множитель при действительных значениях х обращается в нуль. [3]
Посторонние корни можно выделить проверкой ( подстановкой всех корней нового уравнения в исходное), но сделать это иногда технически трудно. Чтобы избежать непосредственной проверки, на неизвестные и параметры в новом уравнении накладывают некоторые дополнительные ограничения, при которых это уравнение будет равносильным исходному. Тогда достаточно проверить-удовлетворяют ли найденные корни нового уравнения этим ограничениям или нет. [4]
Посторонние корни могут появляться также при умножении обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, если этот множитель при действительных значениях х обращается в нуль. [5]
Здесь посторонний корень появился потому, что при переходе от равенства логарифмов к равенству чисел не было учтено требование, чтобы эти числа были положительными. [6]
Возможные посторонние корни могут быть отброшены после проверки их подстановкой в исходное уравнение. [7]
Однако посторонние корни при таком решении могут появиться. В самом деле, в каждом из этих случаев приходится, вообще говоря, решать уравнение, и поскольку все эти три уравнения решаются уже совершенно изолированно друг от друга, может оказаться, что некоторые их решения не будут входить в ОДЗ исходного уравнения. Так и случилось в последнем примере, где решения третьего уравнения не входили в ОДЗ исходного уравнения, и потому были отброшены. [8]
Поэтому посторонние корни могут появиться, но лишь за счет расширения ОДЗ, так что для их отбрасывания, на основании утверждения А, достаточно проверить только факт их вхождения в ОДЗ. Заметим еще, что обратная замена - логарифма произведения на сумму логарифмов - может привести к сужению ОДЗ, и потому недопустима. [9]
Однако посторонние корни при таком решении могут появиться. [10]
Появление посторонних корней может происходить и менее заметно, чем в только что рассмотренных примерах. Как правило, это связано с тем, что используемые при решении рассуждения и выкладки приводят к расширению ОДЗ. В следующем примере посторонние корни появляются при взаимном уничтожении подобных членов, так как при этом мы снимаем ограничение, что уничтоженные слагаемые должны иметь смысл, и тем самым расширяем ОДЗ. [11]
Приобретение посторонних корней не всегда происходит так явно, как в двух последних примерах. Иногда причиной этого являются совершенно безобидные на первый взгляд рассуждения. [12]
Появление посторонних корней возможно и при возведении частей уравнения в одну и ту же степень, как 9то случилось с рассмотренным выше уравнением 1 3: по возведении его в квадрат образовалось уравнение хг - - 2x - - 1 9, корень ( - 4) которого оказался посторонним для исходного уравнения. [13]
Появление посторонних корней в результате применения основного логарифмического тождества обычно вызывает удивление у поступающих, хотя на самом деле ничего странного в этом нет: это происходит за счет расширения РДЗ при замене выражения aleg & на Ъ, если а или b содержат неизвестное. [14]
Появление посторонних корней может происходить и менее заметно, чем в только что рассмотренных примерах. Как правило, это связано с тем, что используемые при решении рассуждения и выкладки приводят к - расширению ОДЗ. В следующем примере посторонние корни появляются при взаимном уничтожении подобных членов, так как при этом мы снимаем ограничение, что уничтоженные слагаемые должны иметь смысл, и тем самым расширяем ОДЗ. [15]