Cтраница 3
Эти две меры аналогичны в том смысле, что битовые операции - это операции над коэффициентами степенных рядов, представляющих целые числа, а арифметические - это операции над коэффициентами полиномов. [31]
К числу этих проблем относится, прежде всего, проблема более простого описания с помощью графов структуры коэффициентов степенных рядов, рассматриваемых в некоторых разделах теоретической физики, в частности, в классической статистической механике. Коэффициенты таких рядов, как правило, представляются в виде сумм, в которых слагаемые маркируются графами, а каждое слагаемое выражается через функции, определенные на ребрах и вершинах маркирующего это слагаемое графа. Иначе говоря, отдельно взятое слагаемое суммы, выражающей п-ый коэффициент ряда, при больших п не дает никакого представления о величине этого коэффициента. Поэтому изучение отдельных слагаемых теряет смысл, а использование представления n - го коэффициента ряда в виде такой суммы для его численной оценки приводит к катастрофически быстрому росту, с возрастанием п, ошибки вычисления. [32]
Рассуждения, используемые при доказательстве теорем 6.2.1 и 6.2.2, остаются в силе и для случая, когда коэффициенты степенных рядов (6.2.1) или (6.2.5) являются целыми числами из мнимого квадратичного расширения поля рациональных чисел. Подробная характеристика возникающих в этом случае рациональных функций пока неизвестна. [33]
Заданный в 8.4.2 набор операций над рациональными числами может быть важен в задачах, требующих точного определения ( рациональных) коэффициентов степенных рядов. Подобные задачи могут возникать там, где играют существенную роль такие операции, как сложение, вычитание, умножение, деление и подстановка степенных рядов. [34]
Эту функцию в самом деле можно представить в виде бесконечного ряда по степеням z ( ряда Тейлора); отсюда мы заключаем, что коэффициенты степенного ряда функции ( 11) должны быть числами Фибоначчи. [35]
Величина 6ns ( r) может быть представлена в виде степенного ряда: 6ns ( /) - ( Ь2г2 Ь - -) / % Для удовлетворительного совпадения с экспериментом, как показано в работе [82], достаточно ограничиться двумя членами этого разложения. Значения коэффициентов степенного ряда 62 и Ъ и взаимоотношение между ними могут в значительной степени варьироваться при изменении режима термообработки. [36]
При каком условии однородное линейное уравнение второго-порядка имеет в окрестности особой точки хх0 хотя бы одно частное решение в виде обобщенного степенного ряда. Как определяются показатель р и коэффициенты степенного ряда, входящего в состав решения. В какой области сходится этот степенной ряд. В каком случае, отыскивая решение в виде обобщенного степенного ряда, получают решение в виде обычного степенного ряда. Как зависит вид второго частного решения от характера корней определяющего уравнения. [37]
При каком условии однородное линейное уравнение второго порядка имеет в окрестности особой точки xxQ хотя бы одно частное решение в виде обобщенного степенного ряда. Как определяются показатель р и коэффициенты степенного ряда, входящего в состав решения. В какой области сходится этот степенной ряд. В каком случае, отыскивая решение в виде обобщенного степенного ряда, получают решение в виде обычного степенного ряда. Как зависит вид второго частного решения от характера корней определяющего уравнения. [38]
Метод, примененный в предшествующих параграфах для нахождения интеграла, голоморфного в области начальных данных, показывает, что такой голоморфный интеграл - единственный. Действительно, формулы ( 7) и ( 9) § 1 показывают, что коэффициенты степенного ряда, представляющего интеграл, находятся единственным, вполне определенным образом. [39]
Данное ниже определение асимптотической катастрофы сформулировано исходя из следующих положений. Иначе говоря, это определение должно удовлетворять условию: всякий раз, когда в представлениях коэффициентов степенного ряда имеет место асимптотическая катастрофа в смысле ее описания, данного в [1] - [3], она имеет место и в смысле данного определения. [40]
Он просто наглядно представлял себе различные задания функций: формулами, графиками, таблицами приближенных численных значений, и последовательностью коэффициентов степенного ряда, и особыми геометрическими или физическими условиями, которым можно дать лишь бледные па-рафазы в символической логике. [41]
Рисунки 1 и 2 показывают, что это приводит к значительному уточнению результатов, которые получаются при использовании аппроксимаций низкого порядка. В работе [ Alabiso, Butera and Prosperi, 1971 ] указывается, что относительное увеличение точности становится меньше с ростом порядка аппроксимации. Поскольку вычислительные трудности ( связанные главным образом с определением коэффициентов степенного ряда) так или иначе вынуждают использовать аппроксимации невысокого порядка, то применение метода вариационного уточнения аппроксимаций можно рекомендовать во всех случаях. [42]
Многочлен - это, очевидно, частный случай степенного ряда, когда в ряде имеется лишь конечное число членов. Разумеется, вычислительная машина допускает представление и запоминание лишь конечного числа членов, так что осмыслен вопрос, возможна ли вообще арифметика степенных рядов на ЭВМ, и если возможна, то чем она отличается от полиномиальной арифметики. Ответ состоит в том, что мы работаем только с первыми N коэффициентами степенного ряда, где параметр N может в принципе принимать произвольно большие значения; вместо обычной полиномиальной арифметики мы по существу имеем дело с полиномиальной арифметикой по модулю ZN, и это часта приводит к несколько иной точке зрения. Далее, над степенными рядами возможно выполнение некоторых специальных операций, например обращения, по отношению к которым множество многочленов не является замкнутым. [43]