Cтраница 3
Обращаясь к первой из формул (7.87), мы видим, что для определения коэффициентов а - /, можно воспользоваться правилом преобразования коэффициентов квадратичной формы при переходе к новому базису. Именно, если обозначим буквой А матрицу квадратичной формы А ( х, х) в базисе е ц, то, согласно теореме 7.2 и соотношению Р Р 1, получим следующую связь между матрицами А и А формы А ( х, х) в базисах вь. [31]
Отыскание максимальной области притяжения, доставляемой функцией Ляпунова ( 11), можно произвести по формуле ( 19) путем объединения оптимальных эллипсоидов устойчивости, определенных для всевозможных значений коэффициентов квадратичной формы с / ( i s, r) и величин а ц, образующих группу k свободных параметров. [32]
Напомним, что при рассмотрении проблемы флуктуации ( см. главу IV, раздел 3) уже было установлено [ см. уравнение (4.28) ], что производные dAp / d pi являются коэффициентами существенно отрицательной квадратичной формы. [33]
Изменятся только коэффициенты квадратичной формы. [34]
Аналогично упрощается вычисление поверхностных интегралов. В этом случае коэффициенты квадратичной формы Е, F, G вычисляются путем перемножения соответствующих столбцов матрицы [ / ]; при преобразовании поверхностных интегралов под знаком интегр. [35]
Пусть на многообразии М введена риманова метрика. Обозначим через q коэффициенты фундаментальной квадратичной формы. [36]
Предположим в этом параграфе исключительно для простоты изложения, что на многообразии М введена рима-нова метрика. Обозначим через gih коэффициенты допустимой квадратичной формы. [37]
Установим некоторые простые следствия сформулированных постулатов. Рассмотрим вначале конкретные условия, налагаемые на коэффициенты квадратичной формы принципом инвариантности. [38]
Члены второй степени в уравнении ( 1) образуют однородный многочттен второго порядка. Мы видим, что его коэффициенты - не меняются при переносе начала координат, а при замене базиса преобразуются как коэффициенты квадратичной формы. [39]
Члены второй степени в уравнении ( 1) образуют однородный многочлен второго порядка. Мы видим, что его коэффициенты aif не меняются при переносе начала координат, а при замене базиса преобразуются как коэффициенты квадратичной формы. [40]
Если определигель а Ф О, то критическая ( особая) точка а называется невырожденной. Непосредственным подсчетом проверяется, что в критической точке а функции / при произвольной замене системы координат элементы матрицы uij преобразуются как коэффициенты квадратичной формы. [41]
Члены второй степени в уравнении ( 1) образуют однородный многочлен второго порядка. Мы видим, что его коэффициенты а:, не меняются при переносе начала координат, а при замене базиса преобразуются как коэффициенты квадратичной формы. [42]
Обозначим координаты не х, у, z, и, a xlt х2, х х или, короче, х а коэффициенты квадратичной формы - gih, Опустим ( по Эйнштейну) знак суммирования, приняв раз навсегда, что производится суммирование от 1 до 4 по каждому индексу, встречающемуся дважды. [43]
Изменяя определяющие функцию Ф параметры ( ниже будет рассмотрено только изменение W невозможно изменить тип критической точки до тех пор, пока она изолирована. Это изменение может иметь место, если две критические точки сливаются. Один из главных коэффициентов квадратичной формы, представляющей функцию Ф в окрестности каждой критической точки, при таком слиянии исчезает. Перед слиянием, соответствующие коэффициенты в рассматриваемых критических точках имеют противоположные знаки. В случае общего положения второй коэффициент остается ненулевым и знакоопределенным ( положительным или отрицательным) и имеет один и тот же знак в обеих точках. Это означает, что одна из сливающихся точек является седлом, а другая - узлом. После слияния точки могут либо исчезнуть, либо поменяться местами. [44]
Принцип наименьшего принуждения допускает простое геометрическое истолкование. Он означает, что действительные ускорения системы минимально отклоняются от тех, которые имели бы место при полном отсутствии связей. Метрика, оценивающая отклонение, определена коэффициентами квадратичной формы принуждения по Гауссу. [45]