Cтраница 4
Поясним геометрический смысл сопряженного базиса. Если осями координат сделать главные оси эллипсоидов уровня квадратичной функции, то один цикл спусков по этим координатам приводит точно в минимум. Если перейти к некоторым аффинным координатам, то функция останется квадратичной, но коэффициенты квадратичной формы изменятся. Можно формально рассмотреть нашу квадратичную функцию с измененными коэффициентами как некоторую новую квадратичную форму в декартовых координатах и найти главные оси ее эллипсоидов. [46]
Подставим в это соотношение выражения (3.7), (3.8) для V и UQ. В результате получим тождество, справедливое при всех x Rn, 0 / Т; левая часть этого тождества есть квадратичная форма от х, а правая часть равна нулю. Поэтому указанное тождество может быть выполнено тогда и только тогда, когда все коэффициенты квадратичной формы равны нулю. [47]
Так как потенциальная энергия А представляет собой квадратичную форму переменных Mai и Мы, то деформации Хе. Хы линейно зависят от Mai и Мы. Коэффициенты этих линейных зависимостей, образующие матрицу внутренней податливости В, совпадают с удвоенными коэффициентами квадратичной формы А. Геометрический смысл обобщенных деформаций, сопряженных с моментами Mai и Мы, будет выяснен ниже. [48]