Cтраница 2
В частности, функция f ( z) p ( z) допустима, и если старший коэффициент многочлена p ( z) положителен, то функция p ( f ( z)) также допустима. [16]
Если f ( х) и g ( x) - многочлены с целыми коэффициентами, причем старший коэффициент многочлена g ( x) равен 1 или - 1, то и частное q ( x) и остаток г ( х), получающиеся при делении f ( х) на g ( x), также являются многочленами с целыми коэффициентами. [17]
Конструкция представлений группы Кокстера W в [ YJ использует введенные там же W - графы, дуги которых определяются старшими коэффициентами многочленов Каждана-Люстига. Для гругшы Вейля W примером W - графа может служить диаграмма Дынкина соответствующей системы корней. [18]
Степень многочлена оА 1 1) может случайно увеличиться, есллг deg 0ft 1 4 deg T ( ft и старшие коэффициенты многочленов a ( fe и Д № i ( fe) равны. [19]
Затем, применяя интерполяционную формулу Ньютона, можно заметить, что последний коэффициент Xs какого бы то ни было делителя является старшим коэффициентом многочлена / ( х), а это вновь уменьшает число возможностей. Здесь нужно определить возможные значения g ( a /), делящие те / ( аг -), которые содержат наименьшее число простых делителей; остальные точки также можно использовать для того, чтобы ограничить число возможностей. Для этого при вычислении каждого многочлена g ( х) нужно сначала выяснить, являются ли его значения в неучтенных еще точках [ делителями соответствующих чисел / ( о) или нет. [20]
Следовательно, многочлен Rn ( x) меняет знак в нулях многочлена С / п ( ж), а так как старшие коэффициенты многочленов Rn ( x) и Un ( x) одинаковые, то эти многочлены тождественны. [21]
Теорема 6.8. Пусть А ( х) и В ( х) - данные многочлены точной степени р 1 и соответственно р и пусть старшие коэффициенты многочленов А ( х) и В ( х) имеют один и тот же знак. [22]
Тем самым при вычислении остатка от деления А на В мы выходим за пределы кольца Z [ x, Xi... Этого не случится, если старший коэффициент многочлена В равен единице. Но в общем случае мы должны принять какие-то меры, если хотим оставаться в указанном кольце. Меры эти состоят в следующем: прежде чем делить А на В, мы умножаем А на старший коэффициент многочлена В в достаточно большой степени. Например, при a b требуется всего один шаг деления, и достаточно умножить А на старший коэффициент многочлена В в первой степени. [23]
О, Ь0 0 уже рассматривался выше, а случай а 3 / 0 0 предусмотрен в формулировке теоремы. Нам остается рассмотреть ел / чаи, когда один из старших коэффициентов многочленов ( 1), например а0, отличен от нуля, а Ь равно пулю. [24]
Говоря о модифицированном остатке, мы имеем в виду следующее. При делении уголком многочлена А на многочлен В с остатком нам неоднократно приходится делить на старший коэффициент многочлена В. Поэтому в общем случае коэффициенты частного и остатка представляют собой дроби, в знаменателях которых стоят некоторые степени старшего коэффициента многочлена В. [25]
Легко видеть, что, в отличие от определителя, перманент и другие коэффициенты ладейного многочлена остаются неизменными при всех перестановочных преобразованиях. В работе [8] было показано, что над некоторыми полукольцами линейные отображения, сохраняющие перманент ( старший коэффициент ладейного многочлена), оставляют неизменными все коэффициенты ладейного многочлена, и установлено, что соответствующие преобразования исчерпываются перестановочными отображениями. Предлагаемый метод позволяет ослабить условия теоремы из [8] и получить характеризацию отображений, сохраняющих любой коэффициент ладейного многочлена. [26]
В целочисленном случае ( Z) описанный метод можно сильно сократить. Затем, применяя интерполяционную формулу Ньютона, можно заметить, что последний коэффициент Ks какого бы то ни было делителя является старшим коэффициентом многочлена / ( х), а это вновь уменьшает число возможностей. Здесь нужно определить возможные значения g ( о), делящие те / ( at), которые содержат наименьшее число простых делителей; остальные точки также можно использовать для того, чтобы ограничить число возможностей. Для этого при вычислении каждого многочлена g ( х) нужно сначала выяснить, являются ли его значения в неучтенных еще точках at делителями соответствующих чисел / ( а) или нет. [27]
Пусть добавляется многочлен Р ( Z [ a i. В силу замкнутости F старший коэффициент многочлена Р содержится в F и, имея меньшую ( нулевую) степень, уже представлен в диаграмме. Этот многочлен тоже есть в F и в диаграмме, так что надо лишь продублировать соответствующую строку. [28]
Формула (3.8) определяет ортогональный многочлен с точностью до коэффициента сп. Так, в конце § 3 после вычисления старшего коэффициента ап многочлена Qn ( x) мы, подчиняя выбор сп условию спап 1, получим формулу Родрига для ортогональных многочленов с единичным старшим коэффициентом. [29]
Из определения ортогональной матрицы А следует, что если / ы ( А) 0, то и 0л ( 1 / А) 0, поскольку 1 / А А / ( АА) А, а многочлен ФА () вещественный. ФА () имеют одни и те же корни, причем с одинаковыми кратностями. Остается добавить, что фл ( 0) 1, так что старшие коэффициенты многочленов f ( t) и ФА () могут отличаться лишь знаком. [30]