Cтраница 3
Построение примеров / г-мерных римановых многообразий нетривиального топологического строения с предписанными ограничениями на секционные кривизны весьма затруднительно. [31]
Эти результаты можно трактовать как теоремы об устойчивости сферических пространственных форм относительно изменений секционных кривизн. Речь идет об устойчивости как топологии, так и метрики. [32]
Понятно, что с уравнением Якоби работать легче, когда задана верхняя граница секционных кривизн, которая здесь важнее нижней. [33]
Это приводит, в частности, к тому, что в случае многообразия знакоопределен-ной секционной кривизны ехру не будет, вообще говоря, нерастягивающим или несжимающим. Эти особенности связаны с тем, что для двух якобиевых полей Y, Z вдоль геодезической rj: t - 7 ( О их взаимное скручивание ( d / dt) ( ( У, Z) / l Y IZ I) не контролируется непосредственно с помощью секционных кривизн. [34]
Поэтому для псевдоримановых многообразий геодезические, кривизну, кривизну Риччи, скалярную кривизну и секционную кривизну можно определить в точности так же, как и для римано-вых метрик. Единственная возникающая при этом трудность состоит в том, что секционная кривизна не определена на вырожденных сечениях касательного пространства, если ( М, g) - многообразие непостоянной кривизны. На самом деле в случае постоянной кривизны секционная кривизна вблизи вырожденных сечений лишь ограничена ( разд. [35]
Доказательство, ( а) Допустим, что ( М, g) имеет всюду неотрицательную времениподобную секционную кривизну. [36]
Эти кривизны уже появлялись в ряде теорем в 18.4.2, 25.2.3, 27.5.4. В отличие от секционных кривизн ограничения на кривизны Риччи не препятствуют естественным деформациям метрик. [37]
Подобно тому как параллельный перенос было целесообразно определять через инфинитезимальный объект - ковариантное дифференцирование, так и секционные кривизны удобно описывать и вычислять через более алгебраизованные объекты - так называемые преобразование и тензор кривизны. Целесообразно, однако, обратиться к третьему из них, в частности потому, что это позволяет ввести понятие преобразования кривизны в произвольном многообразии со связностью, а не только в римановом многообразии со связностью Леви - Чивита. [38]
Пусть /: N 1 - М - погружение гладкого замкнутого многообразия Л 1 1 в полное риманово многообразие Мп неотрицательной секционной кривизны, причем для некоторого непрерывного поля нормалей v все главные кривизны гиперповерхности ( Nn - l, /) положительны. [39]
Теорему Топоногова сравнения треугольников можно использовать для того, чтобы показать, насколько жестко может определяться полное риманово многообразие ограничением на секционную кривизну при условии, что пределы наложенных на кривизну ограничений достигаются. [40]
Будем сравнивать длины полей Якоби вдоль двух нормальных геодезических у, у одинаковой длины в римановых многообразиях М, Kl в условиях, когда секционные кривизны одного из многообразий мажорируют секционные кривизны другого. [41]
Направления ei, e2, ез называют главными направлениями ( или осями) тензора кривизны трехмерного римано-ва многообразия Мв точке р, а Ал, 2, 3 - главными секционными кривизнами. [42]
Будем сравнивать длины полей Якоби вдоль двух нормальных геодезических у, у одинаковой длины в римановых многообразиях М, Kl в условиях, когда секционные кривизны одного из многообразий мажорируют секционные кривизны другого. [43]
На основании этих соображений для риманова пространства Vn с метрическим тензором gl ( х) вводится понятие кривизны К в данной точке М ( х) для данного двумерного направления Ez или секционной кривизны. [44]
Если в условиях теоремы 27.2.5 функция f y постоянна вдоль геодезической у, то построенная в ходе доказательства 27.2.10 поверхность o ( s, t) является вполне геодезической и изометрична плоскому прямоугольнику, причем ее продольные и поперечные линии ot, as - попарно ортогональные геодезические. В частности, секционные кривизны К % в направлении 2, do / ds / do / dt все равны нулю. [45]