Cтраница 3
Для вычисления обычных индексов имеются, кроме общей формулы Атьи - Зингера, другие подходы и более явные формулы для частных случаев. Выражение чисел Лефшеца через обычные индексы позволяет применить для вычисления индекса псевдодифференциального оператора с конечной группой сдвигов любые из известных формул индекса, в том числе и отличные от формул Атьи - Зингера. [31]
Мы считаем, что сейчас еще рано судить о значимости и даже о применимости к реальному миру тех моделей, которые недавно появились, например, в квантовых полевых теориях. История теории струн ( которая, по нашему мнению, привела к построению очень красивой математики, ио на сегодняшний день не сумела доказать свою причастность к реальной действительности) показывает, что словосочетание приложения к физике как характеристику современных работ ( даже таких выдающихся ученых, как Атья и Виттен) не следует понимать слишком буквально. [32]
Мы не будем здесь останавливаться на методах, применявшихся теми njiir иными авторами, так как этот пункт имеет лить косвенное отношение к статье С.Н. Вернштейна и И. Г. Петровского - он подтверждает правильность данного И. Г. Петровским определения эллиптичности. Отметим только работы Атьи, Ботта и Зингера [49, 50], в которых впервые вычислен индекс общих краевых задач. [33]
Этот раздел разбит на три подраздела. В первом подразделе описывается представление Янга автодуальных калибровочных полей, которое является отправной точкой для всех рассуждений, связанных с ПБ. Затем мы вводим анзацы Атьи - Уорда ( АУ) в контексте инстантонной проблемы. Исторически анзацы Атьи - Уорда были предложены как способ образования полного инстантонного решения, но из-за проблем глобальной сингулярности от них отказались в пользу более удобных методов алгебраической геометрии, которые в конечном счете привели к конструкции АДХМ. Наконец, мы опишем совсем недавно открытое ПБ в явно калибровочно инвариантном представлении автодуальных калибровочных полей. К сожалению, подобно конструкции АУ, это новое ПБ при глобальном рассмотрении также имеет серьезные проблемы сингулярности - черта, которая, по-видимому, характерна для всех таких преобразований. [34]
Пусть есть n - мерное векторное расслоение над X, ориентируемое в О. Отсюда ( и из теоремы двойственности Атьи [7]) следует обобщенная Пуанкаре двойственность: пусть Р - Пуанкаре пространство формальной размерности п ( напр. Пусть Av есть JV-мерное нормальное расслоение над Р и TV - его пространство Тома. Пространства P P Jpt и TV ( N - - - двойственны ( отношение, названное в статье S - двойственность ( н 1) - двойственностью, часто наз. [35]
Из результата Дональде она тогда вытекает, что кажднй такой набор данных определяет единственный монополь; эти наборы параметризуют пространство 5Щ2) - монополей ( если распространить нашу конструкцию на случай кратных прямых С. &) и ( Cie 2 -), где 2 - константа с единичной нормой, отвечают одному и тому же монополю. Этот результат по существу совпадает с результатом Атьи / - 5 7 для гиперболических монополей. [36]
Другой подход был предложен в [ KV ], однако и с его помощью задачу окончательно решить не удалось. Кон-цевич нашел новое доказательство, основанное на вычислении некоторого функционального интеграла, вид которого подсказан одним из вариантов квантовой теории поля. Так что ситуация похожа на историю со знаменитой теоремой Атьи - Зингера для дифференциальных операторов, которая была доказана лишь после перехода к более общему контексту псевдодифференциальных операторов. [37]
Эгучи - Хэнсона [5, 8, 14], которая была открыта ранее. Пэйдж ( частное сообщение) нашел, какие отождествления приводят к АЛЕ с ni ( M) Z2 и ZzXZa. Атья ( частное сообщение) затем дал твисторную конструкцию этих функций Грина методами когомологий пучков. [38]
Этот раздел разбит на три подраздела. В первом подразделе описывается представление Янга автодуальных калибровочных полей, которое является отправной точкой для всех рассуждений, связанных с ПБ. Затем мы вводим анзацы Атьи - Уорда ( АУ) в контексте инстантонной проблемы. Исторически анзацы Атьи - Уорда были предложены как способ образования полного инстантонного решения, но из-за проблем глобальной сингулярности от них отказались в пользу более удобных методов алгебраической геометрии, которые в конечном счете привели к конструкции АДХМ. Наконец, мы опишем совсем недавно открытое ПБ в явно калибровочно инвариантном представлении автодуальных калибровочных полей. К сожалению, подобно конструкции АУ, это новое ПБ при глобальном рассмотрении также имеет серьезные проблемы сингулярности - черта, которая, по-видимому, характерна для всех таких преобразований. [39]
Напротив, любому монопольному решению уравнения автодуальности такая кривая отвечает вполне однозначно. Именно, фиксируем пространственное сечение Я3 с: с: Я4 и рассмотрим многообразие ориентированных прямых в нем. Теперь рассмотрим вдоль каждой прямой связность, отвечающую данному монополю, и построим множество тех прямых, над которыми эта связность допускает горизонтальное сечение, интегрируемое с квадратом. Оно является алгебраической кривой, и соответствующий анзац Атьи - Уорда дает исходный монополь. В работе Нама [18] к задаче конструкции монополей для любой простой компактной группы применяется техника, успешно использованная в теории инстантонов. [40]
В этом параграфе мы обсудим двумерные гамильтонианы Паули с неоднородными полями В. В и ( р - а) 2 - В, имеют, за возможным исключением точки 0, один и тот же пектр. Здесь мы разберем теорему Ахаронова и Кашера [6], гласящую, что число состояний с нулевой энергией равно целой части магнитного потока. По существу теорема Ахаронова - Кашера представляет собой физический пример теоремы Атьи - Зингера об индексе, из которой следует, что indU ( Я ( а, 0)) зависит лишь от потока. [41]
Первое издание данной книги вышло в 1986 году, а сама она была написана за 2 - 3 года до этого. Поэтому она не смогла отразить некоторые замечательные достижения в трехмерной топологии и теории узлов, которые мы изложим в этом приложении. При этом следует заметить, что и в других областях топологии был достигнут впечатляющий прогресс. Особо, следует отметить топологические квантовые теории поля, развитые Виттеном в конце 1980 - х годов на основании одного предположения Атьи и другими в 1990 - х годах. [42]
Класс гипоэллиптических операторов, описанный в теореме 4.4, можно, конечно, рассмотреть и на многообразии и считать, что операторы действуют в векторных расслоениях. Если многообразие компактно, то размерность нуль-пространства и коразмерность области значений будут конечными. Действительно, если Ри 0, то ЕРи 0, а это значит, что и ( I - ЕР) и. С - топологией, так что единичная сфера локально компактна. Но это уравнение Фредгольма с ядром из С00, так что область значений имеет конечную коразмерность. Таким образом, у оператора Р определен конечный индекс, равный разности размерности его нуль-пространства и коразмерности его области значений, и мы приходим к обобщению проблемы индекса, решенной Атьей и Зингером. Из результатов § 3 следует, что индекс устойчив при малых возмущениях. Для простоты мы рассматриваем только случай возмущения единичного оператора. [43]
Ill); развитие теории пучков, расслоенных пространств и спектральных последовательностей привело в 50 - е годы к результатам А. III); развитие дифференциальной топологии в 60 - е годы, приведшее к фундаментальным результатам по классификации гладких многообразий, позволило в ряде случаев получить методы классификации гладких действий групп Ли ( см. гл. V и VI); развитие экстраординарных теорий когомологий привело в 60 - е годы к возникновению экстраординарных эквива-риантных теорий когомологий, которые дали эффективные методы изучения множеств неподвижных точек действий циклических групп и торов. В первую очередь здесь необходимо выделить результаты Коннера и Флойда [8] по применению теории бордизмов, а также Атья и Сегала [1, 2] по применению / ( - теории ( см. гл. [44]