Cтраница 3
Если линия второго порядка содержит хотя бы одну точку, то каждый ее центр - центр симметрии, и каждый центр симметрии есть центр; однако центр определен и для линий, являющихся пустым множеством. [31]
Поэтому линии второго порядка на плоскости П распадаются на непересекающиеся аффинно-проективные классы, так, что любые две линии одного и того же класса переходят одна в другую с помощь некоторого аффинно-проективного преобразования, но никакие две линии из разных классов уже нельзя перевести одну в другую никаким таким преобразованием; при этом каждая линия второго порядка содержится в одном ( и только одном) аффинно-проективном классе. [32]
Пусть линия второго порядка распадается на пару совпадающих прямых; это означает, что совокупность ее точек совпадает с совокупностью точек некоторой прямой А. Тем самым каждая точка рассматриваемой линии - двойная. [33]
Всякая невырожденная линия второго порядка определяет биекцию точек проективной плоскости и множества ее прямых. Соответствующие при этом преобразовании фигуры наз. Фигура, совпадающая со своей взаимно полярной, наз. [34]
Относительно линий второго порядка мы выше видели, что все они имеют по меньшей мере один ортогональный1) диаметр, который рассекает всю кривую на две подобные и равные части. Конечно, парабола имеет один такого рода диаметр и потому она состоит из двух равных и подобных частей. А эллипс и гипербола имеют два такого рода диаметра, которые пересекаются в центре под прямым углом; стало быть, у этих линий получается четыре дуги или ветви, равные и подобные друг другу. Окружность же, так как любая прямая, проведенная через центр, делит ее на две равные и подобные части, имеет бесчисленно много равных частей: ведь все дуги, которые стягиваются равными хордами, равны и подобны друг другу. [35]
Для линий второго порядка, распадающихся на пару прямых ( § 58, примеры 2, 3, - 4, 6), можно легко найти уравнения обеих прямых, не прибегая к преобразованию координат. Этот способ излагается в § 65; предварительно ( § 64) дается признак распадения. [36]
Для линий второго порядка, распадающихся на пару прямых ( § 58, примеры 2, 3, 4, 6), можно легко найти уравнения обеих прямых, не прибегая к преобразованию координат. Этот способ излагается в § 65; предварительно ( § 64) дается признак распадения. [37]
Пересечение линии второго порядка и прямой. [38]
Диаметр линии второго порядка, перпендикулярный к сопряженным хордам, называется глазным. [39]
Диаметр линии второго порядка, перпендикулярный к сопряженным хордам, называется главным. [40]
Примером линии второго порядка, расположенной на прямой, является дважды взятая прямая. [41]
Диаметры линии второго порядка называются сопряженными, если они оба имеют неасимптотические направления ( ситуация, возможная только для центральных линий) и эти направления сопряжены. [42]
Пучок линий второго порядка на вещественно-комплексной плоскости называется вещественным, если он содержит по крайней мере две ( а потому и бесконечно много) различных вещественных кривых. [43]
Порождение свальной линии второго порядка проективным, но не перспективным соответствием двух пучков. [44]
Для произвольной невырожденной линии второго порядка пучок касательных является невырожденным пучком второго порядка. [45]