Cтраница 1
Геодезические линии на произвольной кривой поверхности мы определим здесь как траектории свободной ( а значит, движущейся также и без трения) материальной точки, связанной с поверхностью. [1]
Геодезическая линия является кратчайшим путем перехода от одной точки пространства до другой. Конечно, в эвклидовом пространстве геодезические линии являются прямыми, а в римановом они обычно искривлены, если смотреть на них с точки зрения эвклидовой геометрии. [2]
Геодезические линии на цилиндре и на конусе легко найти, навернув на эти поверхности плоскость с сеткой прямых - ее геодезических линий и воспользовавшись инвариантностью геодезических при изгибании. [3]
Геодезические линии на поверхности второго порядка трансцендентны и были впервые определены Якоби в 1837 г. с помощью гиперэллиптических интегралов. В случае поверхности вращения второго порядка отдельная геодезическая линия вьется, между двумя параллельными кругами, а в случае трехосной поверхности второго порядка - между двумя ветвями некоторой линии кривизны. [4]
Геодезические линии, в соответствии с указанными свойствами, играют важную роль не только в геометрии, но и в механике, теоретической физике. Далее, в соответствии с первым законом Ньютона траектории свободных частиц ( пробных тел), движущихся в гравитационном поле, и линии тока в некогерентной жидкости являются геодезическими линиями риманова пространства, основная метрическая форма которого определяется обобщенными ньютоновскими потенциалами гравитационного поля ( Дж. [5]
Геодезические линии новой, а следовательно, и старой связности при подходящем отображении поверхности на евклидову плоскость переходят в изогональные траектории некоторого однопараметрического семейства кривых. Это и служит признаком связности, допускающей особенные геодезические сети. [6]
Геодезические линии в римановом многообразии определяются известными дифференциальными уравнениями, и характер их в малых, областях многообразия полностью выясняется из классических теоре теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Совершенно новые качественные задачи возникают при рассмотрении геодезических в целом. Сюда относится, например, вопрос о наименьшем числе замкнутых геоде зических на многообразии данной топологической структуры. Пуанкаре, поставивший этот вопрос, высказал в 1908 г. гипотезу, что на всяком двухмерном римановом многообразии, гомеоморфном сфере, есть по край, ней мере три замкнутые геодезические без кратных точек. [7]
Геодезические линии могут быть определены также при помощи вариационного принципа. [8]
Геодезическая линия, являясь кратчайшей линией между данными точками земной поверхности, не отражает препятствий, которые могут оказаться на местности, где пролегает трасса. Поэтому намечаются также варианты так называемой воздушной трассы. [9]
Геодезическая линия осуществляет минимум расстояния РР1 только до тех пор, пока внутри дуги РР1 не окажется точка Р сопряженная. Funk рассматривает поверхности, для которых РР постоянно. [10]
Геодезические линии проходят между взаимными нормальными сечениями, располагаясь ближе к прямому сечению. [11]
Геодезические линии на поверхности играют роль прямых на плоскости. [12]
Геодезическая линия, являясь кратчайшей линией между данными точками земной поверхности, не отражает препятствий, которые могут оказаться на местности, где пролегает трасса. Поэтому намечаются также варианты так называемой воздушной трассы. [13]
Геодезические линии на поверхности обладают следующим экстремальным свойством: среди дважды гладких регулярных кривых, соединяющих две достаточно близких точки поверхности, наименьшую длину имеет геодезическая. [14]
Геодезические линии метрики ( 8) вли ( 12) также можно интерпретировать физически при таком подходе. [15]