Геодезическая линия

Cтраница 3

Эти геодезические линии сами по себе образуют каркас другой поверхности, которую можно назвать геодезической поверхностью. Так вот, если на этой поверхности построить шестиугольник так, чтобы его стороны и радиусы были одной и той же четырехмерной длины, то он в общем случае не сомкнется; тогда геодезическую поверхность нужно считать искривленной. Если взять другую геодезическую поверхность, касающуюся точки Р, иначе ориентированную в четырехмерном пространстве ( касающуюся другой поверхности), кривизна окажется иной. Общее множество всех кривизн геодезических поверхностей, проходящих через данную точку, образует ряд независимых инвариантов. Если они равны нулю, то геодезические поверхности таковы, что в правильно выбранной системе гауссовых координат они будут плоскими. Тогда четырехмерное пространство евклидово. Отклонения инвариантов от нулевого значения, таким образом, определяют гравитационные поля и должны зависеть от распределения материальных тел. [31]

Эти геодезические линии имеют вид пространственной восьмерки; все они замкнуты и имеют одинаковую длину. [32]

Поэтому геодезические линии называются также кратчайшими линиями в пространстве. [33]

Но геодезические линии произвольного семейства, вообще говоря, пересекаются друг с другом на некоторых огибающих гиперповерхностях - четырехмерных аналогах каустических поверхностей геометрической оптики. Другими словами, имеется геометрическая причина для появления особенности, связанной просто со специфическими свойствами синхронной системы отсчета и потому очевидным образом не имеющей физического характера. [34]

Но геодезические линии произвольного семейства, вообще говоря, пересекаются друг с другом на некоторых огибающих гиперповерхностях - четырехмерных аналогах каустических поверхностей геометрической оптики. Пересечение же координатных линий дает, разумеется, особенность в метрике в данной координатной системе. Таким образом, имеется геометрическая причина для появления особенности, очевидным образом связанной со специфическими свойствами синхронной системы и потому не имеющей физического характера. [35]

Поверхности удельных энергозатрат на разрушение у и энерговыделения ф. [36]

Для геодезических линий понятие трансверсальности совпадает с понятием ортогональности. [37]

Уравнения геодезических линий можно рассматривать также на любом многомерном римановом многообразии, так как для их составления используются только символы Кристофеля, выражающиеся при помощи коэффициентов метрической формы. Кроме того, указанный выше вариационный подход к задаче, позволивший нам получить новый вывод уравнений геодезических линий поверхности, непосредственно переносится на любые римановы многообразия. [38]

Определение геодезической линии, принятое нами в римановом пространстве, переносится на случай пространства аффинной связности в следующей формулировке: геодезическая линия есть кривая, для которой касательный вектор после параллельного переноса в любую точку остается касательным. [39]

Исследование геодезических линий является одной из важных проблем геометрии не только вследствие большого его самостоятельного интереса, но еще потому, что оно теснейшим образом связано с общими задачами вариационного исчисления и динамики; в частности, инерциаль-ное движение механической системы изображается движением точки по геодезической в соответствующем римановом многообразии. Задачи, касающиеся геодезических линий в целом, возникли, между прочим, именно в связи с динамикой. В области геодезических в целом советским геометрам принадлежит ряд главнейших достижений последнего времени работа эта ведется непрерывно, и есть все основания думать, что она будет интенсивно продолжаться в дальнейшем. [40]

Среди геодезических линий нулевые геодезические линии, лежащие на конусе ( С), играют исключительную роль. Хотя для них верен вариационный принцип ( 83) и дифференциальные уравнения ( 80), во вариационный принцип ( 81) не имеет места. В самом деле, во-первых, координаты не могут быть выражены здесь в виде функций длины дуги вследствие равенства ее нулю, а следовательно, и в ( 80) также должна фигурировать не длина дуги, а какой-нибудь другой параметр кривой, определенный с точностью до постоянного множителя. [41]

Поверхности удельных энергозатрат на разрушение Y и энерговыделения ф. [42]

Для геодезических линий понятие трансверсальности совпадает с понятием ортогональности. [43]

Длина геодезической линии дает интервал собственного времени между отправлением и прибытием материальной точки. Если же FiO, то геодезическая линия соединяет два квази-одновременных события, и мы можем положить dp пропорциональным приращению dl пространственного интервала. [44]

Проблема геодезических линий па выпуклом эллипсоиде, исследованная Нкоби. Ксли мы сплющим этот эллипсоид, превратив его в плоский эллипс, то получим в пределе специальный интегрируемый случай проблемы бильярдного шара ( см. главу VI. Этот пример является еще более конкретным, так как геодезические линии превращаются в обыкновенные ломаные с вершинами, лежащими на эллипсе, и сторонами, образующими равные углы с нормалью к эллипсу в любой вершине. [45]

Страницы: 1 2 3 4