Cтраница 2
Как отмечалось в § 4.3, метод сигнализаторного функтора ( для простого числа 2) всегда включает в себя в той или иной форме результаты Ашбахера - Бендера о сильной вложенности. Здесь указанные результаты применяются для доказательства следующего факта. [16]
Комбинируя теорему 4.190 со своими результатами, о которых шла речь в предыдущем параграфе ( а именно, с теоремами 4.182 и 4.183), Ашбахеру удалось доказать следующую более точную форму локальной C ( G; Т) - теоремы. Отметим, что опубликованный Аш-бахером вариант его теоремы ( появившийся раньше теоремы Гла-убермана - Найлза) не требует, чтобы X была К - группой. Действительно, вид компонент группы Х / 02 ( Х) выясняется в самом конце с использованием теоремы Тиммесфельда о корневых инволюциях - теорема 2.71. Однако рассуждение в нашем случае проще первоначального и позволяет получить результат, достаточно сильный для приложения к классификационной теореме. [17]
Главными архитекторами этой теории являются Ашбахер, Бернд Бауманы ( ученик Фишера) и Глауберман, хотя и другие специалисты внесли существенный вклад, особенно Невиль Кэмпбелл ( ученик Ашбахера), Ричард Найлз ( ученик Глаубермана) и Симе. [18]
Тем не менее за последующие несколько лет в отдельных частях программы был достигнут вполне реальный прогресс: были полностью классифицированы несвязные простые группы, проведены первые атаки на В-гшготезу, а также углубилось понимание строения централизаторов инволюций в группах компонентного типа. Ашбахер, включившийся в работу в этот период, движется с тех пор как ураган, сметая прочь все препятствия и доказывая один удивительный результат за другим, что почти сразу вывело его в лидеры. В течение пяти лет программа, казавшаяся отдаленной мечтой в момент своей формулировки, стала требовать незамедлительных действий, подавая при этом весьма реальные надежды на осуществление. [19]
Ашбахер и Зейц получают в этом случае достаточно полную информацию о возможном строении ( ограниченных) плотно вложенных подгрупп. [20]
Удивительная теорема Ашбахера по существу выражает обратное утверждение: за небольшим числом исключений все простые группы, содержащие классическую инволюцию, исчерпываются группами типа Ли нечетной характеристики. Таким образом, его теорема характеризует группы типа Ли нечетной характеристики строением централизатора лишь одной инволюции. Набросок доказательства Ашбахера будет дан позднее. [21]
Фишер показал, что все его группы являются группами перестановок ранга 3 на множестве своих 3-транспозиций. В ходе доказательства своей основной теоремы Ашбахер получает обратное утверждение. [22]
Если все такие 2 -компоненты содержатся в У, то непосредственно видно, что Т 02 ( Х) и Y X, поэтому он может предполагать существование 2 -компоненты L с L Y. S / 2 ( L), то Ашбахер применяет локальную C ( G; Г) - теорему к группе LT и заключает, что L является х-блоком. [23]
Так как Ql ( Z ( T)) и J ( Т) характеристичны в Т, то из этих условий вытекает, что, в частности, Су ( Qx ( Z ( T))), Nx ( J ( T)) X, поэтому для X отсутствует ( Z, - порождение. Таким образом, к группе X применим результат Ашбахера ( теорема 4.183), дающий исходное описание нормального замыкания ДО / ( Т) ХУ. Кроме того, поскольку J ( Т) Т f ] ДО, то из свойств У-подгруппы непосредственно видно, что J ( T) J ( Т f ] N), поэтому J ( T) char Г П ДО. N) и N ] X, так что X NNX ( J ( T)) согласно рассуждению Фраттини. [24]
Ся, порожденная всеми G - co - пряженными с г элементами, которые лежат в Сп. Теперь, используя Z - теорему Глаубермана ( см. § 4.6), Ашбахер показывает, что Я П М сильно вложена в Я. Именно такое условие его критерия о сильной вложенности позволяет ему заключить, что G имеет сильно вложенную подгруппу ( откуда G L2 ( 2), Sz ( 2п) или ( 73 ( 2п) по теореме Бендера) и поэтому не является контрпримером. [25]
Отметим лишь, что его доказательство по духу напоминает рассуждение Бендера. Например, Ашбахер также показывает, что минимальный контрпример прост и действует дважды транзитивно на множестве Q всех G-сопряженных с М подгрупп. [26]
Теперь мы можем доказать, что для группы X справедлив критерий Ашбахера сильной вложенности. Силова, поэтому из предыдущего абзаца следует, что zxmy z для некоторого у. Таким образом, М и г в самом деле удовлетворяют условию критерия Ашбахера ( теорема 4.31), и мы заключаем, что X содержит сильно вложенную подгруппу. [27]
Наконец, так как N / С - центральное произведение своих компонент N Kiy l t r, то действие Af на V может быть проанализировано достаточно легко. V -, Vf и 0 определяются так же, как и в ( и), причем каждая пара ( У /, N) является F-парой. Учитывая, что Л - в рассматриваемом случае является / ( - группой, мы получаем из описанных выше результатов Куперстейна - Мэйсона и Ашбахера, что Л / -, l t r, имеет вид, указанный в ( i) i поэтому все части теоремы справедливы. [28]
Удивительная теорема Ашбахера по существу выражает обратное утверждение: за небольшим числом исключений все простые группы, содержащие классическую инволюцию, исчерпываются группами типа Ли нечетной характеристики. Таким образом, его теорема характеризует группы типа Ли нечетной характеристики строением централизатора лишь одной инволюции. Набросок доказательства Ашбахера будет дан позднее. [29]
Из нечетности W следует, что W G. Следовательно, Г, 2 () G, согласно (4.5), поэтому G имеет собственное - порожденное ядро. Теперь классификационная теорема Ашбахера дает нам, что G L2 ( 7), q 3, Se ( 22 1), nl, U3 ( 2n), n2, Mn или Jl. Однако в каждой из этих групп известен точный вид централизаторов инволюций. Оказывается, что ни в одной из указанных групп соответствующая подгруппа W не является нетривиальной группой нечетного порядка. [30]