Cтраница 4
Лузин полностью овладевает всем аппаратом теории функции того времени, продумывает ее основные проблемы и получает ряд значительных результатов. Представленная на степень магистра, она принесла ее автору сразу ученое звание доктора чистой математики - случаи, как отмечают биографы II. Лузина, чрезвычайно редкий в практике русских университетов. [46]
В работе о развитии теории пределов тот же автор [11] коснулся ростков идеи предела в схоластической философии и наметил три этапа в эволюции понятия предела в XVIII-XIX вв. Ньютона и Лейбница, как недостижимого значения у Даламбера и, наконец, как символа последовательности чисел. Полемику вызвал давно дебатируемый историками вопрос о философии анализа Ньютона. Лузину [4], ньютонова теория пределов отличалась высокой степенью строгости и, по Ньютону, переменная не достигает предельного своего значения. Ньютона на бесконечно малые и предел, связанные с его тракт вкой непрерывности, и находил, что выход из логических трудностей Ньютон стремился найти, опираясь на механические аналогии. Ньютона исходными и в силу своей простоты и ясности не подлежали прямому определению. Возможное достижение бесконечно малыми предела нуль не приводило Ньютона к каким-либо логическим трудностям или неточностям, поскольку текущие величины заранее предполагались непрерывными. [47]
Таким образом, утверждение об отсутствии противоречий в пределах существующих теоретико-множественных построений является эмпирическим заключением, для которого не имеется достаточно веских оснований. В результате приходится констатировать, что, несмотря на весьма успешное обслуживание теорией множеств аксиоматиче ского метода, основания, на которых она сама строится, неудовлетворительны. Отправляясь от указанных затруднений, дальнейшая критика обратила внимание на одну существенную особенность теории множеств или, лучше сказать, на особенность математического мышления вообще, но проявившуюся наиболее ясно при развитии теории множеств. Речь идет об идее бесконечности, являющейся одним из самых основных элементов математического мышления. В античной математике по отношению к бесконечности была проявлена осторожность. Был произведен в известной мере логический анализ понят, связанных с бесконечностью. Благодаря этому он получил возможность быстро и широко развиваться и сыграть огромную роль в самых разнообразных отраслях науки и в практике. При этом в нем то и дело всплывали трудности, связанные с идеей бесконечности. Наиболее полно это критическое направление выразилось на последнем своем этапе, а именно в трудах Кронекера, Бореля, Лузина и Брауэра. Форма бесконечности, которая лежит в основе теоретико-множественных представлений, получила название - актуальной бесконечности. [48]