Cтраница 2
Заметим, что топологическое пространство может не быть пространством со счетной базой топологии даже тогда, когда ож является пространством с первой аксиомой счетности и в нем имеется счетное всюду плотное множество. Однако если в топологическом пространстве есть счетная база топологии, то топологическое пространство сепарабельно и удовлетворяет первой аксиоме счет ности ( ср. Точно так же, как и в случае метрических пространств ( см. определение 17 § 2), топологическое пространство называется пространством со второй аксиомой счетности, если в нем существует хотя бы одна база топологии, состоящая не более чем из счетного числа множеств. [16]
Заметим в скобках, что множества F ( t) образуют базу топологии на множестве всех вычислимых функций. Легко проверить, что для любого t и для любой вычислимой нумерации U множество всех номеров всех функций из F ( t) перечислимо. [17]
Совокупность всех открытых шаров произвольного метрического пространства ( X, ) образуют базу топологии этого пространства. [18]
Переходим теперь к изложению дальнейших свойств топологии пределов обратных спектров, и поскольку знание базы топологии часто облегчает установление тех или иных фактов, касающихся исследуемой топологии, то мы начнем с нижеследующего простого, но важного утверждения. [19]
Таким образом, в IP имеется много открытых выпуклых множеств, но их не хватает для образования базы топологии пространства IP. Показать также, что множество всех х, для которых d ( х, 0) 1, слабо ограничено, но не ограничено в исходной топологии. [20]
Так как множества вида VxW, где V открыто в X, W - в Y, образуют базу топологии в прямом произведении Ху. [21]
Доказать, что в любом метрическом пространства множество всех е-окреетиоетей с рациональным е всех точек этого пространства образует его базу топологии. [22]
К - область, а, следовательно, открытое множество, то, согласно определению базы, семейство всех областей образует базу топологии пространства X. [23]
Обратно, если совокупность множеств В удовлетворяет этим свойствам, то X можно превратить в топологическое линейное пространство, беря в качестве базы топологии ( задача 1) систему В и ее сдвиги. [24]
А /; 7 где а, Ь.Х. Легко проверить, что система 1 удовлетворяет условиям теоремы о задании топологии посредством базы, поэтому ft служит базой топологии в X, называемой порядковой топологией. [25]
На основании теоремы об экстраполировании профильной информации на пространственную систему неровностей для оценки точности и достоверности результатов исследования профилей, а также для обоснования классификации поверхностей на базе топологии, развития идей их математического описания и оценки областей применения стержневых, конических, сферических, эллипсоидных и других моделей целесообразно использовать пространственную оценку неровностей. [26]
Наименьшая мощность базы окрестностей единицы топологической группы G называется ее локальным весом и обозначается ao ( G); весом G называется наименьшая мощность w ( G) базы топологии группы G. Топологическая группа G удовлетворяет первой аксиоме счетности [ второй аксиоме счет-ности ], если ее локальный вес [ ее вес ] счетен. [27]
Наименьшая мощность базы окрестностей единицы топологической группы G называется ее локальным весом и обозначается оУо ( С); весом G называется наименьшая мощность w ( G) базы топологии группы G. Топологическая группа G удовлетворяет первой аксиоме счетности [ второй аксиоме счет-ности ], если ее локальный вес [ ее вес ] счетен. [28]
Замечание 4.12, Часто оказывается полезным тот факт, что доказанный критерий справедлив и в том случае, если вместо любых открытых покрытий брать лишь такие, элементы которых принадлежат некоторой базе топологий. [29]
Пример ы 1.22. Так как для каждой точки л числовой прямой и содержащей эту точку открытого множества U существует содержащий эту точку интервал ( a, h), целиком лежащий в U, то из доказанного предложения следует, что совокупность всевозможных интервалов образует базу топологии числовой прямой. [30]