Cтраница 3
База топологии очевидно определяется не однозначно. На числовой прямой базу топологии образует, например, семейство всех интервалов. Базой в этом пространстве является и семейство всех интервалов с рациональными концами. Совокупность всех шаров образует базу метрического пространства; множество шаров с рациональными радиусами - также база. [31]
Заметим, что топологическое пространство может не быть пространством со счетной базой топологии даже тогда, когда ож является пространством с первой аксиомой счетности и в нем имеется счетное всюду плотное множество. Однако если в топологическом пространстве есть счетная база топологии, то топологическое пространство сепарабельно и удовлетворяет первой аксиоме счет ности ( ср. Точно так же, как и в случае метрических пространств ( см. определение 17 § 2), топологическое пространство называется пространством со второй аксиомой счетности, если в нем существует хотя бы одна база топологии, состоящая не более чем из счетного числа множеств. [32]
Именно, если 33 Л - база топологии Q пространства X, то согласно определению 2 И является системой всех подмножеств пространства X, каждое из которых либо является объединением некоторой совокупности множеств из - В, либо пусто. [33]
Теорема 3.4.6 имеет три важных преимущества по сравнению со следствием 3.4.3. Во-первых, нам не нужно больше проверять, принадлежит ли а-алгебре L ( s &) внешнее множество st - 1 ( / C), такая проверка требуется лишь для внутренних множеств 0; в большинстве приложений эти множества будут лежать даже в s &, так что проверка тривиальна. Во-вторых, требуется проверять измеримость множеств только из базы топологии; это - важное преимущество для тех пространств, в которых открытые множества не порождаются счетными операциями из элементов базы. Когда в следующем параграфе мы перейдем к приложениям, мы будем систематически использовать все три отмеченных обстоятельства. [34]
Существует счетное семейство D - открытых дисков, образующее базу топологии комплексной плоскости С. Далее, множество V является наибольшим из открытых подмножеств в С, обладающих этим свойством. [35]
А состоит из двух пространств X я Y, то базу топологии произведения ZXXY образуют множества вида UX V, где U - произвольное открытое множество в X, а V - произвольное открытое множество в Y. Аналогично описывается база топологии произведения любого конечного упорядоченного множества топологич. [36]
Доказать, что регулярное топологическое пространство со счетной ба зой топологии метризуемо. В частности, компактное хаусдорфово пространство метризуемо в том и только том случае, если оно имеет счетную базу топологии. [37]
Что произойдет с теоремой 3.5.1, если мы не знаем даже того, что мера v определена на базе топологии. [38]
Для прямой количественной оценки эксплуатационных показателей поверхности, оценки точности и достоверности упрощенных методов определения параметров неровностей, наглядности в смысле обоснования классификации поверхностей на базе топологии, развития идей их математического описания и оценки о ластей применимости стержневых, комических, сферических, эллипсоидных и других моделей целесообразно - использовать пространственную оценку неровностей с помощью методов горизонталей ( по способам реперных линий, референтных плоскостей и гипсометрии), стереофотограмметрии, ультразвуковых голограмм и голографической интерферометрии в сочетании со стерео-логическим анализом по розе числа пересечений, степени ориентированности неровностей и углу направленности. [39]
А состоит из двух пространств X я Y, то базу топологии произведения ZXXY образуют множества вида UX V, где U - произвольное открытое множество в X, а V - произвольное открытое множество в Y. Аналогично описывается база топологии произведения любого конечного упорядоченного множества топологич. [40]
Топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, если каждая его точка имеет счетную базу окрестностей. Совокупность открытых баз окрестностей всех точек данного топологического пространства задает базу топологии. [41]
Базой окрестностей точки х X назовем такую совокупность окрестностей Вх точки ж, что для каждой ее окрестности Vx су-щесвует окрестность Ux е Вх, которая принадлежит Vx. Топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, если каждая его точка имеет счетную базу окрестностей. Совокупность открытых баз окрестностей всех точек данного топологического пространства задает базу топологии. [42]
Заметим, что топологическое пространство может не быть пространством со счетной базой топологии даже тогда, когда ож является пространством с первой аксиомой счетности и в нем имеется счетное всюду плотное множество. Однако если в топологическом пространстве есть счетная база топологии, то топологическое пространство сепарабельно и удовлетворяет первой аксиоме счет ности ( ср. Точно так же, как и в случае метрических пространств ( см. определение 17 § 2), топологическое пространство называется пространством со второй аксиомой счетности, если в нем существует хотя бы одна база топологии, состоящая не более чем из счетного числа множеств. [43]
Однако в конкретных случаях целесообразно задавать не всю топологию, а лишь некоторую ее часть, по которой однозначно определяется все семейство открытых множеств. Так, в метрическом пространстве сначала вводится понятие шара ( открытого), а затем определяется открытое множество, как такое, в которое каждая точка входит вместе с некоторым шаром, ее содержащим. Иными словами, в метрических пространствах открыты те и только те множества, которые можно представить в виде объединения шаров. Это естественным образом приводит к понятию базы топологии. [44]
Пред-положим, что топологическое пространство X не связно. В / 0, А П В 0 и множества А к В замкнуты в X. По условию точки jq и л: 2 соединены в X. Af П) Это противоречит связности АГ. Топологическое пространство называют локально связным, если семейство всех его областей образует базу топологии. [45]