Cтраница 3
В книге есть упражнения и их решения, имеется много подробных вычислений эдемевтарных примеров. С другой стороны, - это монография, где внимание читателя скон-щшрировано на общих концепциях теоретической физики. Тирринг приводят новые мощные методы: дифференциально-геометрические и операторно-алгебраические, % щучи убежденным в том, что было бы нелепо, если будущие профессора XXI века изу-лв бы только математику XIX века. Тирринга теоретическая физика вступает как последовательная теория, описываемая единым математическим аппаратом дифференциально-геометрических и операторно-алгебраических методов, а примеры, иллю-офврующие применение основных принципов физики, подобраны так, что у читателя воз-достаточно ясное представление как о том, что уже стало классическим достоянием I, так и о том, что получено в теоретической физике в самое последнее время. Преж-всего, следует отметить многоплановость изложения. Строгий математический аппарат, к правило, предваряется основательным качественным рассмотрением общей концепции Далее, на примерах описывается математический метод и затем этот метод при-к более сложным задачам. Такой подход позволяет читателю усвоить не только тематическую, но и чисто физическую сущность рассматриваемых явлений и получаемых результатов. [31]
Фактически - правда, без раскрытия геометрического смысла - Эйлер пользуется при решении уравнений первого порядка теми линиями интегральной поверхности, которые в настоящее время называются характеристиками. Он подчеркивает, что произвольная функция, входящая всегда в выражение общего решения, может быть разрывной. Следовательно, рвутся не значения функции, но ее аналитические выражения. Над тем, что карандаш или перо, которым мы описываем кривую, в действительности дает на бумаге не кривую, а полосу, и что точное определение кривой таким способом получить нельзя, - над этим Эйлер, как вообще математики XVIII века, не задумывался. [32]
Ньютон открыл взамно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования. Он указывал, что все задачи нового анализа сводятся к двум взамно обратным проблемам, которые могут быть сформулироаны в терминах механики: 1) определение скорости движения в данный момент времени по известному пути и 2) определение пройденного за данное время пути по известной скорости движения. Время при этом понималось просто как общий аргумент всех переменных. Вводит он и понятие дифференциала, которое называет моментом. Ньютон намечает программу построения анализа на основе учения о пределе, не давая впрочем формального определения этого понятия, получившего глубокое развитие в математике XIX века. [33]
Уравнения механики для системы с п степенями свободы в форме Гамильтона однозначно определяют состояние tP в момент t, если известно состояние Р системы в момен. Возможные состояния Р образуют точки ( 2я) мерного фазового пространства 13, и для фиксированного t - л произвольного Р переход Р - - 1Р есть отображение ( /), сохраняющее меру. Рассматривая Р как частицу ( 2л) - мерной жидкости, заполняющей фазовое пространство, и приписывая чао тиде Р положение tP в момент t, мы получаем образ стацио-парного потока несжимаемой жидкости. Статистический вывод законов термодинамики использует так называемую эргодическую гипотезу, согласно которой путь произвольной частицы Р ( за исключением начальных состояний Р, образующих множество меры нуль) покрывает фазовое пространство ( или по крайней мере то ( 2п - 1) - мерное подпрострач ство, где энергия имеет заданное значение) всюду плоти j, так что в любой момент времени вероятность найти ее в той или иной части пространства одинакова для любых частей равной меры. Математика XIX века, казалось, была далека от доказательства этой гипотезы хоть с какой-нибудь сте-пенью общности. [34]
Так как Даламбер не хотел с этим согласиться, а постоянно утверждал, что эти функции должны быть определены аналитическими выражениями, возник спор, на что Эйлер указывает в § 37 этого тома. Позже этот спор возобновился в связи с тем, что Даниил Бернулли дал совершенно новое решение, составленное из бесконечного числа частных решений в виде синусов и косинусов кратных углов. Подобного рода вопросы часто и подолгу рассматривались математиками XVIII века, но решение их было получено только в следующем столетии, а именно в общей теории тригонометрических рядов, идущей от Фурье. [35]