Cтраница 2
Добавив, если нужно, слагаемые с нулевыми коэффициентами, мы всегда можем считать, что в обоих разложениях число слагаемых и элементы базиса Гамеля одинаковы. [16]
Произвольная функция, заданная на множестве Е С М, однозначно продолжается до аддитивной ( т.е. удовлетворяющей уравнению ( 1)) функции на R, если и только если Е является базисом Гамеля. [17]
В силу б и ювй, в XXX существует множество С, обладающее свойствами ( I), ( II) и ( III), указанными в б, и такое, что множество В значений первой координаты точек из С образует базис Гамеля. [18]
Рассмотрим М как векторное пространство над полем Q. В нем есть базис Гамеля. Она отлична от нуля ( / ( а) 1) и принимает лишь рациональные значения, поэтому не может быть умножением на константу. [19]
При наличии аксиомы выбора такая процедура может быть реализована и в бесконечномерном случае. Получаемые таким образом базисы называются базисами Гамеля. [20]
Покажем, что множество F х х К; / ( а) 1 содержит базис Гамеля. Действительно, пусть / г0 - элемент некоторого базиса Гамеля Я. [21]
Но это и означает, что Е является базисом Гамеля. [22]
В силу теоремы 2.14 для каждого х е R 0 существует единственное разложение по элементам базиса Гамеля. Естественно, элемент х0 может как входить в это разложение, так и не входить. [23]
Возможность иного решения в отсутствие непрерывности кажется маловероятной. Однако аксиома выбора позволяет указать бесконечное число таких решений, говорить о которых удобнее, опираясь на понятие базиса Гамеля. [24]
Даже если не знать о базисах Гамеля или о необходимости аксиомы выбора для их построения, очевидно, что невозможно построить разрывное решение уравнения Коши без применения аксиомы выбора. Однако тот факт, что график любого разрывного решения уравнения Коши всюду плотен в R2 ( теорема 2.3), можно доказать без обращения к аксиоме выбора или базисам Гамеля. [25]
Пусть теперь аддитивная функция / равна нулю на С. Ввиду ( 23) и леммы 2 она равна нулю на [0,1], а значит и на всей оси. Согласно следствию 13 множество С содержит базис Гамеля. [26]
Иначе обстоит дело в комплексном случае. Мы увидим, что там существуют весьма причудливые автоморфизмы. Чтобы получить эндоморфизм поля С, нам потребуется построить множество, аналогичное базису Гамеля, но по отношению не только к сложению, но и к умножению. [27]
Однако не всякое сохраняющее меру преобразование переводит множества меры нуль в множества меры нуль. То же самое можно сделать и с линейным отображением бесконечномерного сепарабельного гильбертова пространства X с гауссовской мерой. Действительно, возьмем линейное подпространство XQ полной меры, обладающее алгебраическим дополнением L с континуальным базисом Гамеля. [28]
Пусть дано произвольное векторное пространство. Говорят, что множество ( возможно, бесконечное) векторов линейно независимо, если никакая нетривиальная линейная комбинация конечного числа векторов из этого множества не равна нулю. Заметим в скобках, что говорить о бесконечных линейных комбинациях в принципе можно лишь если в пространстве определена сходимость, чего мы сейчас не предполагаем. Линейно независимое множество векторов называется базисом Гамеля ( или просто базисом ] данного пространства, если любой вектор представим в виде конечной линейной комбинации элементов этого множества. [29]
Если множество Е обладает свойством ( i) из теоремы 6, то всякая аддитивная функция /: R - R, ограниченная на Е по абсолютной величине, непрерывна. Обратное неверно, как показывает следующий пример. Пусть, тем не менее, аддитивная функция g: R - R ограничена на Е по абсолютной величине. Иначе говоря, из наличия в Q ( E - Е) подмножества положительной лебеговой меры не вытекает аналогичный факт для Q ( ( E F) U U ( Е - F)), где F - подмножество в К, содержащее базис Гамеля. [30]