Cтраница 3
Теперь предположим, что D не содержит множества положительной меры, но всякая аддитивная функция /: К. R, ограниченная на Е ( ф 0) по абсолютной величине, непрерывна. Очевидно, что Е содержит более одной точки. В силу следствия 2.13 множество Е - Е содержит некоторый базис Гамеля Я, а тогда по симметрии также и - Я. Как и в доказательстве теоремы 6, получаем что множество D является О-звездным в нуле Но D является О-выпуклым и не содержит множества положительной меры. Ввиду предложения 5 существует разрывная аддитивная функция /: R - R, ограниченная сверху на D некоторым числом М, которое можно выбрать положительным. [31]