Cтраница 2
Если ограничение vF тривиально, то sup v ( D) sup v ( X), где X - базис алгебры Dp. Из предположения dimf D оо вытекает, что отображение v ограничено. Но нетривиальные нормирования, очевидно, не ограничены. Поэтому ограничение vF нетривиально. [16]
При получении линейных эквивалентов нелинейных систем и нахождения общих инвариантов для нескольких однопараметрических групп необходимо определить, является ли заданная система инфинитезимальных операторов инволютивной, т.е. составляет ли она базис алгебры Ли векторных полей. [17]
Докажем, что она также аналитична. Хп ] - какой-нибудь базис алгебры Ли группы 9 - Для элементов а, достаточно близких к о0, мы можем выразить ша в виде 2 г ( а) () а тогда ( см. § IV главы III, стр. [18]
Пусть Е - некоторое множество, а Л - свободная ассоциативная алгебра множества Е над полем К - Алгебра AL содержит множество Е, полугруппа, порожденная множеством Е в алгебре AL, совпадает с полугруппой, порожденной этим множеством в Л, и является, следовательно, свободной полугруппой. Кроме того, эта полугруппа образует базис алгебры AL. [19]
При большем числе образующих относительное сокращение оказывается еще более значительным. Именно в силу значительного уменьшения количества столбцов желательно записывать приведенный базис алгебры М в такой форме. [20]
Подалгебру с g назовем треугольной, если в некотором базисе алгебры g все операторы ad x ( x с) записываются верхними треугольными матрицами. Подгруппа С: G называется треугольной, если в g существует базис, в котором все операторы Ad g ( g C) записываются верхними треугольными матрицами. [21]
Через ( W) k обозначается начальное подслово длины k слова W. Множество слов, не являющихся линейно представимыми меньшими, линейно независимо и образует нормальный базис алгебры. [22]
Говоря неформально, ограниченность высоты означает приведение слов к кусочно периодическому виду, высота есть число кусков. Существенная высота есть максимальное число сколь угодно длинных периодических кусков, одновременно необходимых для построения базиса алгебры. Отметим, что если У есть s - базис алгебры А и порождает А как алгебру, то прокладки выражаются через У и А имеет ограниченную высоту над У. [23]
Если А и В являются F-алгебрами, то отображения КА и KB инъективны; кроме того, если х: i е / - базис алгебры А, а г / /: / е / - базис алгебры В, то кА ( х1) кВ ( у -): ( / /) е е / X / - базис алгебры А В. [24]
БИРКГОФА - ВИТТА ТЕОРЕМА, Пуанкаре - Биркгофа - Витта теорема - теорема о представимости алгебр Ли в ассоциативных алгебрах. Пусть G - алгебра Ли над полем k, U ( G) - ее универсальная обертывающая алгебра, В Ь, i.I - базис алгебры G, линейно упорядоченный нек-рым образом. U ( G) и, таким образом, канонич. [25]
Тогда [ е f g - - [ fg e - - [ [ ge f Q, и поэтому 8 является алгеброй Ли. Наш выбор базиса равносилен следующему: мы выбираем базис ( е, /) алгебры 8 и дополняем его элементом g так, чтобы получить базис алгебры 8 При изменении базиса 8 матрица А переходит в подобную матрицу М-1 АМ. Поэтому матрицу А в таблице умножения ( 18) мы можем заменить любой матрицей вида рВ, где В - матрица, подобная А. Это означает, что мы имеем взаимно однозначное соответствие между алгебрами 8, удовлетворяющими условиям dim 8 - 3, dim 8 2, и классами сопряженных элементов в двумерной группе коллинеаций. [26]
Если А и В являются F-алгебрами, то отображения КА и KB инъективны; кроме того, если х: i е / - базис алгебры А, а г / /: / е / - базис алгебры В, то кА ( х1) кВ ( у -): ( / /) е е / X / - базис алгебры А В. [27]
Если А и В являются F-алгебрами, то отображения КА и KB инъективны; кроме того, если х: i е / - базис алгебры А, а г / /: / е / - базис алгебры В, то кА ( х1) кВ ( у -): ( / /) е е / X / - базис алгебры А В. [28]
Если выбрать базис алгебры g ( и тем самым базис gL), то дискриминант формы BL относительно этого базиса будет таким же, как у формы В; таким образом, чтобы форма BL была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы форма В была невырожденной. [29]
Элемент множества Е и слово, соответствующее одноэлементной последовательности, состоящей из этого элемента, отвечают друг другу взаимно однозначно; мы их будем отождествлять. Кроме того, множество М образует базис алгебры L, если эту алгебру рассматривать как векторное пространство над полем К. Ясно, что L является ассоциативной унитарной алгеброй над полем К и что множество Е есть система почти-образующих алгебры L. Эту алгебру L и называют свободной ассоциативной алгеброй множества Е над полем К. [30]