Cтраница 3
Говоря неформально, ограниченность высоты означает приведение слов к кусочно периодическому виду, высота есть число кусков. Существенная высота есть максимальное число сколь угодно длинных периодических кусков, одновременно необходимых для построения базиса алгебры. Отметим, что если У есть s - базис алгебры А и порождает А как алгебру, то прокладки выражаются через У и А имеет ограниченную высоту над У. [31]
Согласно лемме а, условия ( i), ( ii), ( iii) и ( iv) являются необходимыми. Тогда из ( ii) и предложения Ь вытекает существование такого гомоморфизма алгебр 6: 5 С - Л, что 6 ( х у) ср ( х) ( у) для х е В и у е С. Ввиду леммы а и условия ( iii) б отображает базис алгебры В С биективно на базис алгебры А и потому является изоморфизмом. [32]
Согласно лемме а, условия ( i), ( ii), ( iii) и ( iv) являются необходимыми. Тогда из ( ii) и предложения Ь вытекает существование такого гомоморфизма алгебр 6: 5 С - Л, что 6 ( х у) ср ( х) ( у) для х е В и у е С. Ввиду леммы а и условия ( iii) б отображает базис алгебры В С биективно на базис алгебры А и потому является изоморфизмом. [33]
Ли) G, которые разрешимы в смысле обычного определения теории групп. Оказывается, что это те и только те группы, алгебры Ли которых разрешимы, а для того чтобы группа G была нильпотентна ( в смысле определения Цассенхауза, см. Zassenhaus, Lehrbuch der Gruppentheorie), необходимо и достаточно, чтобы ее алгебра Ли была нильпотентна. Неприводимые алгебраические линейные группы G, алгебры Ли д которых состоят из нильпотентных операторов, обладают замечательными свойствами. В такой группе канонические координаты ( относительно некоторого базиса алгебры Ли) образуют систему координат для всей группы, причем координаты произведения двух элементов выражаются полиномами от координат множителей. [34]
Пусть А ж В - произвольные подкольца расширения Q поля / с, содержащие k, м С - подкольцо поля Q, порожденное кольцами А и В. Для того чтобы А и В были линейно разделены над k, достаточно существования базиса алгебры В над k, к-рый независим над А. Если А конечное расширение поля k, то степень расширения [ В ( А): В ] не превосходит степени расширения [ A: k ] и равенство имеет место в том и только в том случае, когда A Ik и Blk линейно разделены. [35]