Cтраница 2
Мы видели ( § 12), что для всякого самосопряженного линейного преобразования есть свой ортогональный нормированный базис, в котором его матрица диагональна. Может оказаться что для нескольких самосопряженных преобразований существует один общий базис, в котором матрицы всех этих преобразований диагональны. Мы выясним здесь, при каких условиях это возможно. [16]
Итак, для того чтобы преобразование было самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы в ортогональном нормированном базисе его матрица была симметрична. [17]
Если же одномерного инвариантного подпространства нет, то возьмем двумерное и обозначим через elt ег его ортогональный нормированный базис. [18]
Применив к полученной таким образом полной системе линейно независимых элементов процесс ортогонализации, мы и построим ортогональный нормированный базис. [19]
Понятие аффинного ортогонального тензора, рассматривавшееся в предыдущих параграфах, связано с преобразованием ортогональных декартовых систем координат и соответствующих им ортогональных нормированных базисов. [20]
Для самосопряженных линейных операторов в конечномерном евклидовом пространстве известна теорема о приведении матрицы такого оператора к диагональной форме в некотором ортогональном нормированном базисе. В этом пункте мы распространим эту теорему на компактные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. [21]
Докажем, что любой вектор является аффинным ортогональным тензором первого ранга. Во-первых, в каждом ортогональном нормированном базисе et, e2, е3 вектор х определяется тройкой чисел - тройкой своих координат. [22]
Матрица оеу, для которой выполнены соотношения (7.6), называется ортогональной. Таким образом, матрица перехода от одного ортогонального нормированного базиса к другому является ортогональной. [23]
Задачей настоящего пункта является выбор в пространстве Rn нового ортогонального и нормированного базиса и нового начала координат так, чтобы наша поверхность 2-го порядка определялась некоторым специальным и особенно простым уравнением, которое называется каноническим. [24]
Мы видели в 7.33 а, что в аффинном пространстве ни канонический базис, ни канонический вид квадратичной формы не определены однозначно; вообще говоря, можно было включить в канонический базис формы любой наперед заданный вектор. В евклидовом пространстве и при условии, что рассматриваются только ортогональные и нормированные базисы, положение иное. Дело в том, что вместе с матрицей квадратичной формы, как мы видели, преобразуется и матрица соответствующего симметричного линейного оператора; если найден канонический базис квадратичной формы, то одновременно найден базис из собственных векторов симметричного оператора. При этом коэффициенты квадратичной формы в каноническом базисе ( канонические коэффициенты) совпадают с соответствующими собственными значениями оператора. Но собственные значения оператора А суть корни уравнения det ( А - Е) - О, которое не зависит от выбора базиса и инвариантно связано с оператором А. Следовательно, совокупность канонических коэффициентов формы ( Ах, х определена однозначно. [25]
Мы видели в 7.33 а, что в аффинном пространстве ни канонический базис, ни канонический вид квадратичной формы не определены однозначно; вообще говоря, можно было включить в канонический базис формы любой наперед заданный вектор. В евклидовом пространстве и при условии, что рассматриваются только ортогональные и нормированные базисы, положение иное. Дело в том, что вместе с матрицей квадратичной формы, как мы видели, преобразуется и матрица соответствующего симметричного линейного оператора; если найден канонический базис квадратичной формы, то одновременно найден базис из собственных векторов симметричного оператора. При этом коэффициенты квадратичной формы в каноническом базисе ( канонические коэффициенты) совпадают с соответствующими собственными значениями оператора. Но собственные значения оператора А суть корни уравнения let ( А - ХЕ) - 0, которое не зависит от выбора базиса и инвариантно связано с оператором А. Следовательно, совокупность канонических коэффициентов формы ( Ал, х) определена однозначно. [26]
Этот оператор также симметричен. Согласно теореме о симметричном операторе (9.45) в пространстве R имеется ортогональный и нормированный базис из собственных векторов оператора А. В этом базисе матрица оператора А диа-гональна. Поскольку эта же матрица является и матрицей билинейной формы А ( х у), построенный базис есть канонический базис формы А ( х у), что и требовалось. [27]
В силу теоремы 9.256 матрица самосопряженного оператора в любом ортогональном и нормированном базисе совпадает со своей эрмитово-транспонированной матрицей, иными словами, есть эрмитово-симметричная матрица. И обратно, каждый оператор А, имеющий в некотором ортогональном и нормированном базисе эрмитово-симметричную матрицу, является самосопряженным оператором. [28]
Этот оператор также симметричен. Согласно теореме о симметричном операторе ( 9.45 в пространстве R имеется ортогональный и нормированный базис из собственных векторов оператора А. В этом базисе матрица оператора А диа-гональна. Поскольку эта же матрица является и матрицей билинейной формы А ( х у), построенный базис есть канонический базис формы А ( х у), что и требовалось. [29]
Матрица fl - ft, элементы которой удовлетворяют условиям ( 4), либо, что то же самое, условиям ( 5), называется унитарной матрицей. Унитарные матрицы являются, как мы видели, матрицами унитарных преобразований в ортогональном нормированном базисе. Так как переход от одного ортогонального нормированного базиса к другому задается унитарным преобразованием, то матрица перехода от одного ортогонального нормированного базиса к другому такому же является унитарной. [30]