Cтраница 2
Процедуры асе solve и асе inverse были опробованы на вычислительной машине KDF9 при расчетах с главным минором седьмого порядка матрицы Гильберта. В машине KDF9 для представления чисел использована 39-разрядная двоичная мантисса и имеется специальный регистр для накопления скалярного произведения. Так же, как и в алгоритме 1.1, матрица была умножена на число 360 360, чтобы сделать все элементы матрицы целыми. [16]
Матрица универсально абсолютно ограничена, если и только если она имеет вид X А, где X - скаляр, ah - матрица Гильберта - Шмидта. [17]
Поэтому предположим, что Ь - диагональная матрица, такая, что ft О универсально абсолютно ограничена ( где оба слагаемых в прямой сумме Ь и 0 больше); следует доказать, что Ь - матрица Гильберта - Шмидта. Следующий шаг состоит в исполь-юваняи того же способа, как на шаге ( 2) доказательства теоремы 16.1, т.е. доказывается, что произведение Ь и любой ограниченной матрицы абсолютно ограничено. [18]
Ваша программа правильна; причина неполадок - погрешность машинной арифметики. Матрицы Гильберта внешне выглядят вполне безобидно, однако они специально предназначены для демонстрации накопления ошибок в длинном ряду взаимосвязанных вычислений. Вы, быть может, считаете источником бед то, что ваш компьютер хранит недостаточное число цифр вещественных чисел - На многих ЭВМ имеется арифметика двойной точности. Предусмотрев в своем алгоритме двойную точность, вы сможете улучшить ситуацию, но заведомо не сможете полностью решить проблему. [19]
Матрица Гильберта - Шмидта абсолютно ограничена и, поскольку свойство Гильберта - Шмидта унитарно инвариантно, она универсально абсолютно ограничена. Матрицы Гильберта - Шмидта не могут, однако, быть единственными среди универсально абсолютно ограниченных; скаляры ( т.е. матрицы, полученные из единичной умножением на скаляры) дополняют такие примеры, при этом они ие имеют аналогов в неатомическом случае. Поскольку сумма двух универсально абсолютно ограниченных матриц такая же, то каждая матрица вида h, где X - скаляр, аи - матрица Гильберта - Шмидта, является универсально абсолютно ограниченной. [20]
Покажите, что матрица Гильберта - частный случай матрицы Коши, найдите обратную к ней матрицу и докажите, что каждый элемент этой обратной матрицы является целым числом. Матрицами Гильберта часто пользуются для проверки многих алгоритмов линейной алгебры, так как они численно крайне неустойчивы и в то же время для них известны обратные матрицы. Однако было бы сшибкой сравнивать известную обратную матрицу, приведенную в этом упражнении, с вычисленной обратной матрицей для матрицы Гильберта, поскольку, перед тем как обращать матрицу, ее элементы надо округлить, и поэтому-обратная к такой округленной матрице Гильберта будет до некоторой степени отличаться от точной обратной матрицы из-за имеющейся неустойчивости. Элементы матрицы, обратной к матрице Гильберта, - целые числа, и потому ее в принципе возможно обратить совершенно точно; но поскольку она численно неустойчива в той же мере, что и исходная матрица, при попытке выполнить это обращение могут появиться крайне большие целые числа. [21]
Первым примером является матрица Гильберта десятого порядка, а вторым примером - небольшая система с треугольной матрицей. [22]
С ( по теореме Фу-бини) тривиальны. Дискретное преобразование Фурье является ограниченным карлемановским ядром, но ие абсолютно ограниченным ( пример 10.2), таковым же является матрица Гильберта - Теплица ( пример 5.7, пример 10.1); ядро Абеля ( пример 11.1) является абсолютно ограниченным, но не карлемановским. [23]
Если матрица а такова, что обе а а имеют вид X А ( X - скаляр, h - матрица Гильберта - Шмидта), то такой же будет сама матрица а. Следствие: обе части утверждения теоремы достаточно доказать только для эрмитовых матриц. Поскольку, более того, если уже известно, то в остальной части доказательства предполагаем, что а - универсально абсолютно ограниченная эрмитова матрица, и покажем, что а имеет требуемый вид. [24]
Процедура invert не может быть рекомендована, поскольку не делает поиска главного элемента и, следовательно, дает малую точность. Результаты, полученные ими при использовании 30 значащих разрядов для дробной части, могут быть сравнены непосредственно с результатами, полученными при использовании процедуры. Наибольшая ошибка в любом элементе, полученная при обращении сегмента 4x4 матрицы Гильберта, приводится ниже. [25]
Решить эту задачу было бы чрезвычайно трудно, если бы мы не догадались, что матрица Гильберта является частным случаем матрицы Коши. Более общая задача решается гораздо легче, чем ее частный случай. В нашем случае алгебраические дополнения элементов матрицы Коши являются матрицами Коши, а алгебраические дополнения элементов матрицы Гильберта не являются матрицами Гильберта. [26]
Покажите, что матрица Гильберта - частный случай матрицы Коши, найдите обратную к ней матрицу и докажите, что каждый элемент этой обратной матрицы является целым числом. Матрицами Гильберта часто пользуются для проверки многих алгоритмов линейной алгебры, так как они численно крайне неустойчивы и в то же время для них известны обратные матрицы. Однако было бы сшибкой сравнивать известную обратную матрицу, приведенную в этом упражнении, с вычисленной обратной матрицей для матрицы Гильберта, поскольку, перед тем как обращать матрицу, ее элементы надо округлить, и поэтому-обратная к такой округленной матрице Гильберта будет до некоторой степени отличаться от точной обратной матрицы из-за имеющейся неустойчивости. Элементы матрицы, обратной к матрице Гильберта, - целые числа, и потому ее в принципе возможно обратить совершенно точно; но поскольку она численно неустойчива в той же мере, что и исходная матрица, при попытке выполнить это обращение могут появиться крайне большие целые числа. [27]
Решить эту задачу было бы чрезвычайно трудно, если бы мы не догадались, что матрица Гильберта является частным случаем матрицы Коши. Более общая задача решается гораздо легче, чем ее частный случай. В нашем случае алгебраические дополнения элементов матрицы Коши являются матрицами Коши, а алгебраические дополнения элементов матрицы Гильберта не являются матрицами Гильберта. [28]
Матрица Гильберта - Шмидта абсолютно ограничена и, поскольку свойство Гильберта - Шмидта унитарно инвариантно, она универсально абсолютно ограничена. Матрицы Гильберта - Шмидта не могут, однако, быть единственными среди универсально абсолютно ограниченных; скаляры ( т.е. матрицы, полученные из единичной умножением на скаляры) дополняют такие примеры, при этом они ие имеют аналогов в неатомическом случае. Поскольку сумма двух универсально абсолютно ограниченных матриц такая же, то каждая матрица вида h, где X - скаляр, аи - матрица Гильберта - Шмидта, является универсально абсолютно ограниченной. [29]
Покажите, что матрица Гильберта - частный случай матрицы Коши, найдите обратную к ней матрицу и докажите, что каждый элемент этой обратной матрицы является целым числом. Матрицами Гильберта часто пользуются для проверки многих алгоритмов линейной алгебры, так как они численно крайне неустойчивы и в то же время для них известны обратные матрицы. Однако было бы сшибкой сравнивать известную обратную матрицу, приведенную в этом упражнении, с вычисленной обратной матрицей для матрицы Гильберта, поскольку, перед тем как обращать матрицу, ее элементы надо округлить, и поэтому-обратная к такой округленной матрице Гильберта будет до некоторой степени отличаться от точной обратной матрицы из-за имеющейся неустойчивости. Элементы матрицы, обратной к матрице Гильберта, - целые числа, и потому ее в принципе возможно обратить совершенно точно; но поскольку она численно неустойчива в той же мере, что и исходная матрица, при попытке выполнить это обращение могут появиться крайне большие целые числа. [30]