Cтраница 3
Покажите, что матрица Гильберта - частный случай матрицы Коши, найдите обратную к ней матрицу и докажите, что каждый элемент этой обратной матрицы является целым числом. Матрицами Гильберта часто пользуются для проверки многих алгоритмов линейной алгебры, так как они численно крайне неустойчивы и в то же время для них известны обратные матрицы. Однако было бы сшибкой сравнивать известную обратную матрицу, приведенную в этом упражнении, с вычисленной обратной матрицей для матрицы Гильберта, поскольку, перед тем как обращать матрицу, ее элементы надо округлить, и поэтому-обратная к такой округленной матрице Гильберта будет до некоторой степени отличаться от точной обратной матрицы из-за имеющейся неустойчивости. Элементы матрицы, обратной к матрице Гильберта, - целые числа, и потому ее в принципе возможно обратить совершенно точно; но поскольку она численно неустойчива в той же мере, что и исходная матрица, при попытке выполнить это обращение могут появиться крайне большие целые числа. [31]
Подход с использованием нормальных уравнений настолько прост, что до тех пор, пока не возникают какие-либо трудности в его применении, не следует рассматривать другие подходы. Основная проблема здесь состоит в том, что распространенные выборы моделей приводят к плохо обусловленным матрицам АТА, настолько плохим, что решения систем представляют собой случайные числа, не имеющие отношения к исходной задаче. Вспомним рассуждения в примере 8.1, связанные с матрицей Гильберта. Конечно, такая ситуация не всегда имеет место, однако наблюдается достаточно часто, чтобы считать этот подход ненадежным. Заметим, что число обусловленности матрицы АТА является числом обусловленности матрицы А в квадрате. [32]
Подход с использованием нормальных уравнений настолько прост, что до тех пор, пока не возникают какие-либо трудности в его применении, не следует рассматривать другие подходы. Основная проблема здесь состоит в том, что распространенные выборы моделей приводят к плохо обусловленным матрицам АТА, настолько плохим, что решения систем представляют собой случайные числа, не имеющие отношения к исходной задаче. Вспомним рассуждения в примере 8.1, связанные с матрицей Гильберта. Конечно, такая ентуация не всегда имеет место, однако наблюдается достаточно часто, чтобы считать этот подход ненадежным. Заметим, что число обусловленности матрицы АТА является числом обусловленности матрицы А в квадрате. [33]
Было использовано два типа подпрограмм scalar. Первая из них для повышения точности находит скалярное произведение, пользуясь операциями с фиксированной запятой и 32-разрядным сумматором. Вторая пользуется обычной плавающей запятой и 8 значащими цифрами. При использовании единиц в качестве правых частей был обращен сегмент 6X6 матрицы Гильберта. Обращенная матрица была обращена снова. [34]
Могут быть предприняты попытки решить систему методами, использующими элементарные отражения, или элементарные вращения, или итерации Гаусса - Зейделя, или итерации Якоби, или SOR-итерации 1), или обобщенные обращения, или что-либо другое. Существо дела состоит в том, что истинное решение поставленной задачи не имеет отношения к реальности. Единственный способ получить осмысленные результаты - переформулировать математическую задачу для последующего решения так, чтобы ни матрица Гильберта, ни любая другая отдаленно похожая на нее матрица не входила когда-либо в модель или в процесс решения задачи. [35]