Cтраница 3
Таким образом, AI вогнута, а Ап выпукла на пространстве вещественных симметрических матриц. [31]
Как будет видно дальше, из теоремы 4, собственные значения вещественной симметрической матрицы будут вещественными. Однако в общем случае собственные значения ( и собственные векторы) могут быть комплексными. В настоящей книге комплексные числа появляются только в связи с собственными значениями и собственными векторами несимметрических матриц ( гл. Поэтому подробное изучение комплексных матриц опускается. Все матрицы и векторы в дальнейшем будут предполагаться вещественными, за исключением тех случаев, когда специально оговорено, что они комплексные. [32]
Область определения функции / ( W Y) составляет строго выпуклое множество вещественных симметрических матриц. [33]
Таким образом, слияние собственных значений может одновременно вызвать слияние соответствующих собственных векторов - явление, не имеющее аналога в области вещественных симметрических матриц, Возникает вопрос, можно ли было бы, хотя бы в частных случаях, предвидеть такое своеобразное поведение собственных векторов, не входя в подробное решение задачи собственных значений. Что это именно так, мы увидим, если обратим внимание на равенство Гамильтона - Кели. [34]
Таким образом, слияние собственных значений может одновременно вызвать слияние соответствующих собственных векторов - явление, не имеющее аналога в области вещественных симметрических матриц. Возникает вопрос, можно ли было бы, хотя бы в частных случаях, предвидеть такое своеобразное поведение собственных векторов, не входя в подробное решение задачи собственных значений. Что это именно так, мы увидим, если обратим внимание на равенство Гамильтона - Кели. [35]
Наша главная цель состоит в получении этих четырех свойств, и нужно вновь подчеркнуть, что они равным образом применимы и к вещественным симметрическим матрицам. Последние представляют собой частный и наиболее важный случай эрмитовых матриц. [36]
Здесь у - fe - мерный вектор, М ( т, е, Y) и Р ( т, в, у) - вещественные симметрические матрицы порядка kxk, 2я - периодические по т, причем матрица М ( т, е, Y) предполагается неособой для рассматриваемых значений т, 8, у. Предполагается, что матрицы М ( т, 0, ) М0 ( т), Р ( т, О, у) Р0 ( у) не зависят от т и MO ( Y) O, P0 ( v) 0, т.е. положительны в смысле квадратичных форм ( М0 ( у) с, с) и ( Р0 ( у) с, с) для всех Y [ YI 72 ] - Уточним зависимость матриц-функций М и Р от аргументов. [37]
Пусть в системе ( 3) матрица Н является непрерывной 2л - периодической по t, вещественной симметрической матрицей. Задача об устойчивости линейных гамнльтоповых систем обладает рядом специфических особенностей по сравнению с задачей об устойчивости общих линейных систем, рассмотренных в предыдущем пункте. Эти особенности вытекают из теоремы Ляпунова - Пуанкаре о характеристическом уравнении гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. [38]
Опишем одну достаточно показательную попытку математически точно сформулировать понятие резонансной энергии. Сначала напомним, что корни характеристического многочлена P ( G, x) являются вещественными числами, поскольку А - вещественная симметрическая матрица. [39]
Действительно, хотя транспонирование и не оставляет эту матрицу неизменной, но транспонирование и одновременная замена i на - / дает первоначальную матрицу. Хотя собственные векторы такой матрицы будут уже не вещественными, а комплексными векторами, собственные значения все же вещественны, и те особые обстоятельства, которые имеют место в случае вещественных симметрических матриц, переносятся в область эрмитовых матриц. Эти матрицы играют в комплексной области ту же роль, что и симметрические матрицы в вещественной области. [40]
Действительно, хотя транспонирование и не оставляет эту матрицу неизменной, но транспонирование и одновременная замена i на - / дает первоначальную матрицу. Хотя собственные векторы такой матрицы будут уже не вещественными, а комплексными векторами, собственные значения все же вещественны, и те особые обстоятельства, которые имеют место в случае вещественных симметрических матриц, переносятся в область эрмитовых матриц. Эти матрицы играют в комплексной области ту же роль, что и симметрические матрицы в вещественной области. [41]
При построении столбцов ортогональной матрицы С мы должны наряду с условием нор-мированности столбцов соблюсти и условие их попарной ортогональности. Действительно, согласно теореме 3 из § 17 собственные столбцы вещественной симметрической матрицы, соответствующие различным собственным числам, автоматически ортогональны. [42]