Cтраница 3
Наряду с парами объект, его ком-плексификация в различных математических теориях часто встречаются тройки объектов. Гипотеза состоит в том, что это не случайно и что все эти тройки связаны коммутативными диаграммами. Стрелки, соединяющие две тройки, обычно сами образуют при этом естественную тройку. Задача заключается в проверке указанной гипотезы и в систематическом изучении таких троек. [31]
Равенство ( 34) называется каноническим разложением отображения f, и его, согласно теореме 3, обычно записывают так: f - gihfef. Это же равенство можно изобразить, как показано на рис. 2.18, который обычно называют коммутативной диаграммой. [32]
В Sub А естественно определяется отношение порядка. Полагаем [ / ] [ g ], если для g: С - А имеем коммутативную диаграмму типа той, что только что приводилась. Из определений следует, что здесь ср не только мономорфизм, но он еще определяется однозначно. Так действительно определяется отношение порядка в системе Sub А. Для категории множеств это отношение совпадает с обычным включением подмножеств. [33]
3Ti ( а) Тч ( а) в для каждого элемента а е G и, значит, SeTi ( a) x Тч ( а) Жх для каждого вектора x& R. Зех применить оператор Г2 ( а), соответствующий тому же элементу а е G ( см. Коммутативную диаграмму на стр. [34]
Получаем, что эти диаграммы не что иное, как известные аксиомы моноида: умножение в них ассоциативно, а элемент и служит левой и правой единицей. Справедливо и обратное утверждение, поскольку те же соображения показывают, как можно выразить алгебраические тождества в виде коммутативных диаграмм. [35]
Последние три типа являются гораздо более типичной разновидностью графических объектов в научных текстах. Их применение разнообразно, начиная с представления карт ( Taupin, 1993b) и заканчивая химическими структурами и коммутативными диаграммами. В большинстве случаев для таких объектов желательна тесная интеграция с окружающим текстом, которая может быть достигнута путем использования одного из графических языков, описанных в этой книге. [36]
На множествах С / Й Ф / р и U З Ф / р определены соответствующие алгебры Халмоша. В силу приводившихся только что замечаний р содержится в полном прообразе относительно v конгруэнции р7, и поэтому отображение v: & Ф - & Ф определяет v: U - U, причем так, что имеет место записанная выше коммутативная диаграмма. Нужно еще проверить согласованность v с операциями. [37]
Ввиду предложений 6.3, 6.2 и следствия 6.6 V ( A) - нормальный эпиморфизм. Но из коммутативной диаграммы ( 67) видно, что Т [ X V ( A) 7v -мономорфизм. [38]
Заметим, что каждое из отображений ф, ф и ф повышает размерность на q единиц. Кроме того, эти отображения коммутируют с кограничным оператором. Коммутативность обоих квадратов диаграммы проверяется непосредственно. Переходя к кого-мологиям, получим коммутативную диаграмму, включающую точные когомологические последовательности пары ( X, А) и триады ( X; А, В) и гомоморфизмы, определяющие отображение первой точной последовательности во вторую. Равенство ( бм) v б ( ы i v) - непосредственное следствие коммутативности одного из квадратов этой диаграммы, а именно квадрата, содержащего кограничные операторы. [39]