Cтраница 2
Эту меру можно распространить, используя лебегово продолжение меры, до некоторой счетно-аддитивной меры ( г, заданной на ст-кольце йм ц-измеримых множеств. Тогда и каждое замкнутое множество F a IR является fi - измеримым. [16]
Обратим внимание и на то обстоятельство, что интеграл Лебега строится на произвольных абстрактных множествах, на которых определена счетно-аддитивная мера. [17]
Тогда ( X, / Са, i) называется пространством с мерой, если существует а-кольцо / Са подмножеств X и счетно-аддитивная мера i на / Са. Если Х Ко, то X называется измеримым пространством. [18]
Класс L ( а; 6) интегрируемых по Лебегу функций, а-алгебра измеримых подножеств интервала ( а; Ь) и счетно-аддитивная мера Лебега ц на 91 строятся в этом случае по схеме Даниэля так же, как и раньше. [19]
Итак, а-конечная конечно-аддитивная мера р 0 является счетно-аддитивной на &, и, значит, ( по теореме Каратеодори) она может быть продолжена до счетно-аддитивной меры ji на. [20]
Теорема 3.2. Если норма II измерима на пространстве Е0 и Е - пополнение пространства Е0 по норме -, то мера р порождает счетно-аддитивную борелевскую меру на пространстве Е с нормой 11 - 11, и, наоборот, если мера р порождает счетно-аддитивную меру на пространстве Е, то норма II II измерима. [21]
Счетно-аддитивная мера на В ( Х) называется борелевской мерой. Счетно-аддитивная мера на Во ( Х) называется бэровской мерой. [22]
Предположим, что и Л является а-алгеброй. Счетно-аддитивную меру л функционала FT [ z ( t, a), t т ] определим на минимальной а-алгебре, соответствующей а-алгебрам множеств В и А. [23]
Конструкция счетно-аддитивной меры на о-алгебре 95 подмножеств Q начинается с того, что счетно-аддитивная мера задается на более простой, чем о-алгебра, системе множеств. [24]
Пусть множество X совпадает с множеством [ натуральных чисел. J определим счетно-аддитивную меру ц, полагая, что мера каждого одноточечного множества п равна единице. Таким образом, мера любого конечного подмножества из ЭД равна количеству его элементов. Эта мера имеет лебегово продолжение на а-алгебру 21 2N всех подмножеств множества f j, причем она является полной и а-конечной. [25]
В примере 10 совокупность доминирующих подмножеств счетна, а пересечение всех доминирующих подмножеств пусто. Для мажоритарных систем, задаваемых счетно-аддитивной мерой, пересечение любой счетной совокупности доминирующих подмножеств является доминирующим. Это следует из теоремы 6, согласно которой доминирующие множества имеют полную меру, если меру выбрать разумно. [26]
Далее, а-алгебру, порожденную G-цилин-дрическими множествами, обозначаем символом се и называем G-цилиндрической а-алгеброй. С другой стороны, если ц - счетно-аддитивная мера на а-алгебре OG, то она однозначно восстанавливается по своему сужению на алгебру 91с G-ци-линдрических множеств. Поэтому из предложения 2.1 вытекает, что мера ц однозначно восстанавливается по своему преобразованию Фурье. [27]
В) Теперь рассмотрим иной интересный подход к построению интеграла Лебега - так называемую схему Даниэля. В этой схеме для построения интеграла Лебега не требуется изначального введения счетно-аддитивной меры, определенной на о алгебре 31 подмножеств множества X. Наоборот, а-алгебра 31 и о-аддитивная мера ц на ней будут построены как следствия развития понятия интеграла Лебега. [28]
Конструкция счетно-аддитивной меры на о-алгебре 95 подмножеств Q начинается с того, что счетно-аддитивная мера задается на более простой, чем о-алгебра, системе множеств. [29]
С точностью до множества меры нуль это единственная мера в М, инвариантная относительно сдвигов. Благодаря тому счастливому обстоятельству, что классическую меру ( 8) можно продолжить как счетно-аддитивную меру на сигма-алгебру, содержащую все шары, теория интеграла в некоторой степени упрощается. Небольшое неудобство связано с множествами меры нуль и вызвано тем, что подмножество множества меры нуль может оказаться неизмеримым. Рассмотрим произвольное подмножество - / с (, которое не является борелевским множеством в одномерном пространстве. Можно обойти эту трудность, если условиться считать, что все подмножества любого множества меры нуль являются измеримыми и имеют меру нуль. [30]