Cтраница 3
В этом пункте рассматривается измеримое пространство ( X, 21, ц), где счетно-аддитивная мера ( J. Определим интеграл Лебега от вещественнозначных функций, заданных на ц-измеримых множествах, являющихся подмножествами X. Удобно различать два случая в зависимости от того, является ли мера ц ( X) конечной или бесконечной. [31]
Современные абстрактные теории интегрирования имеют дело с функциями на произвольном множестве с заданной иа нем счетно-аддитивной мерой. Имея в виду применения к собственно аналитическим проблемам, мы в общей схеме ограничиваемся сравнительно простыми множествами ( нагруженными пространствами), где теория интеграла может быть построена по образцу одномерного интеграла Римаиа, что нам позволяет не касаться вопросов, связанных со счетной аддитивностью меры. [32]
В 1894 г. Стилтьес ввел новое понятие интеграле, отличающееся от классического понятия интеграла Римана тем, что равные интервалы на оси имели разную меру и даже отдельные точки могли нести положительную меру; интеграл же получался из интегральных сумм, как и у Римана, предельным переходом. Но появление в 1902 г. интеграла Лебега, перенесенного в 1913 г. Радоном с оси на многомерное пространство, переместило интересы математиков в сторону вопросов, связанных со счетно-аддитивной мерой, и интеграл Рн-маиа - Стилтьеса, требующий лишь конечной аддитивности меры ( а в случае, когда мера принимает значения разных знаков. [33]
Булевы алгебры и теория вероятностей. Примеры, приведенные в этой главе, показывают, сколь велико многообразие интерпретаций, а стало быть и приложений булевых алгебр. При этом для теории вероятностей важно, чтобы данная совокупность была а-алгеброй); заданная на этой а-алгебре счетно-аддитивная мера, грубо говоря, и есть вероятность. [34]