Cтраница 3
Если Е - борелевское множество в XXX положительной меры и В - линейно независимое множество в X мощности, меньшей мощности континуума, то существует такая, принадлежащая Е, точка ( х, у), что множество В U х линейно независимо. Можно указать такое у, при котором мера сечения Еу положительна, следовательно, Еу имеет мощность континуума. [31]
Функция называется асимптотически направленной на данном множестве положительной меры, если она асимптотически направлена почти во всех его точках. [32]
Согласно теореме 1, существует множество Е конечной положительной меры, обладающее следующими свойсгвами: Е с: Af 1 и ЕЕ 1 d N. [33]
Примеры положительных функционалов и связь их с положительными мерами составляют содержание следующей теоремы. В качестве весьма частного случая она содержит классическую теорему Бохнера о положительно определенных функциях. Отождествления, приводящие от одной теоремы к другой, указаны в упр. [34]
Сохраняются ли результаты при замене меры Лебега произвольной положительной мерой. [35]
Пусть Е - спектральная мера и л - положительная мера, заданная на борелевском поле Е множества S комплексных чисел. [36]
Поэтому ряд (6.3) не может сходиться на множестве положительной меры. Следовательно, ряд должен расходиться почти всюду. [37]
Доказать, что если Е - измеримое множество положительной меры на прямой, то в нем найдутся точки, расстояние между которыми иррационально. [38]
Доказать, что если Е - измеримое множество положительной меры я, расположенное на отрезке [ а, 6 ], то в нем найдется хотя бы одна пара различных точек, расстояние между которыми рационально. [39]
Предположим, что Е X-F - измеримый прямоугольник положительной меры. Отсюда следует, что Е - F Э Э ( G - G) ( а - 0) н, следовательно, Е - F включает непустое открытое множество. F) включает множество такого же вида. [40]
Поэтому ряд (6.3) не может сходиться на множестве положительной меры. Следовательно, ряд должен, расходиться почти всюду. [41]
I, во втором Е второй категории и положительной меры, но не существует в этом случае никакой дуги окружности, на которой оно было бы зараз приведенным и второй категории. [42]
Доказать, что если А - неограниченное множество положительной меры на прямой R, то в нем найдется хотя бы одна пара точек, расстояние между которыми рационально. [43]
Поэтому ряд (6.3) не может сходиться на множестве положительной меры. Следовательно, ряд должен расходиться почти всюду. [44]
Теперь предположим, что D не содержит множества положительной меры, но всякая аддитивная функция /: К. R, ограниченная на Е ( ф 0) по абсолютной величине, непрерывна. Очевидно, что Е содержит более одной точки. [45]