Cтраница 2
Никакие технические средства не позволяют выполнять арифметические операции над числами, заданными бесконечными дробями. Поэтому замена любого числа конечной дробью является необходимой операцией. [16]
Тогда всякой паре ( х, у) будет снова однозначно соответствовать бесконечная дробь г, которая в свою очередь определит х и у. Но теперь всякая дробь z однозначно распадается на две дроби х и у с бесконечным числом молекул каждая, и при этом дробь г может возникнуть только однажды, когда мы в качестве ( х, у) будем брать всевозможные пары бесконечных десятичных дробей. И это действительно дает взаимно однозначное отображение отрезка на квадрат; следовательно, они имеют одинаковую мощность. [17]
Следует заметить, что при делении чисел результат может получиться в виде бесконечной дроби. [18]
Преобразование дроби в новую систему счисления может дать бесконечное число цифр а ь, следовательно, будут случаться бесконечные дроби, которые приходится заменять конечными дробями, допуская при этом некоторую погрешность. [19]
Частные случаи схемы Бернулли возникают при разложении взятого наудачу ( с равномерным распределением) действительного числа со из отрезка ( 0 1) в бесконечную дробь по к. [20]
Частные случаи схемы Бернулли возникают при разложении взятого наудачу ( с равномерным распределением) действительного числа ш из промежутка ( О, 1) в бесконечную дробь по к. [21]
Надо сказать, что принципиально возможно дать определение действительного числа как бесконечной десятичной дроби, но в такое определение обязательно должно входить описание действий с бесконечными дробями. Такой путь построения теории действительного числа оказывается вовсе не простым, и в школе он подробно не рассматривается. [22]
Если в бесконечной десятичной дроби мы возьмем несколько первых десятичных знаков, а остальные отбросим, то получится конечная десятичная дробь, которую мы будем называть отрезком данной бесконечной дроби. [23]
Для получения значений функций применяют различные виды их приближенного задания: функция может быть задана своим дифференциальным уравнением, разложением в степенной или какой-нибудь другой ряд, разложением в бесконечную дробь; в некоторых случаях функцию на отдельных интервалах изменения ее аргумента задают в виде достаточно близких к ней многочленов. [24]
Покажем, что уже множество положительных десятичных дробей несчетно. А положительных бесконечных дробей счетно. [25]
Но это тоже весьма необычное, даже замечательное явление. Поскольку первоначальное соотношение - бесконечная дробь, у этого соотношения также не должно быть конца. [26]
Отныне читатель может представлять себе вещественные числа как бесконечные десятичные дроби. Из школьного курса известно, что периодическая бесконечная дробь изображает рациональное число и, обратно, каждое рациональное число разлагается именно в периодическую дробь. Таким образом, изображениями вновь введенных нами иррациональных чисел служат непериодические бесконечные дроби. Это представление также может быть отправной точкой для построения теории иррациональных чисел. [27]
Применив усиленный закон больших чисел к последовательности функций Радемахера, мы придем к знаменитой теореме Бореля о нормаль-ных числах: почти все числа единичного интервала разлагаются в двоичные дроби, содержащие одинаковое число нулей и единиц. Подобный же вывод справедлив для разложений в бесконечные дроби при любом основании г, отличном от 2 ( г - 3), и мы получаем, таким образом, теорему об абсолютно нормальных числах: почти все числа нормальны относительно всех оснований г одновременно. [28]
Бесконечная дробь называется периодической, если одна цифра или упорядоченная совокупность цифр, начиная с некоторого места после запятой, повторяется. Такая повторяющаяся цифра или упорядоченная совокупность цифр называется периодом бесконечной дроби. [29]
Вещественный тип данных моделирует вещественные числа, но только приближенно. Так, например, число 0.12 в десятичной системе счисления является бесконечной дробью в двоичной системе, следовательно, для хранения этого числа с абсолютной точностью потребовался бы компьютер с бесконечно большой разрядностью. Дробь приходится обрезать, отбрасывая лишние двоичные разряды. Это и является источником погрешности. Таким образом, множество вещественных чисел, допускающих машинное представление, - это множество дробных двоичных чисел с конечной разрядностью. Такое множество содержит конечное число элементов ( значений), а значения любых двух элементов из этого множества отличаются на малую, но конечную величину. В математике такое множество называется конечным и дискретным. Учет особенностей модели вещественных значений важен при программировании вычислений, ведь любой численный алгоритм, корректность которого доказана теоретически ( для множества обычных вещественных значений с произвольной разрядностью), после его отображения на дискретное множество значений может потерять некоторые из своих свойств. Это часто приводит к появлению погрешности счета, а иногда и к неправильной работе самого алгоритма. [30]