Cтраница 3
Масштабированные значения десятичных чисел после перевода в двоичную систему счисления в большинстве случаев являются бесконечными дробями. В связи с этим при записи их в ячейку памяти они округляются на 35 - м разряде после запятой. [31]
Рациональные числа представимы в виде периодических, а иррациональные числа - в виде непериодических бесконечных десятичных дробей. Некоторые рациональные числа представимы в виде конечной дроби или, что то же самое, в виде бесконечной дроби с нулем в периоде. Такие числа допускают второе представление - в виде бесконечной десятичной дроби с цифрой 9 в периоде. [32]
А именно, Кениг понимает под а, Ь, с не отдельные цифры, а известные комплексы цифр, я бы сказал, молекулы десятичной дроби, соединяя в одно целое всякую значащую цифру, отличную от нуля, со всеми непосредственно ей предшествующими нулями; благодаря этому выделяется роль нулей. Тогда всякая десятичная бесконечная дробь должна иметь бесконечно много молекул, так как в ней появляются все снова и снова отличные от нуля цифры, и наоборот. [33]
Отныне читатель может представлять себе вещественные числа как бесконечные десятичные дроби. Из школьного курса известно, что периодическая бесконечная дробь изображает рациональное число и, обратно, каждое рациональное число разлагается именно в периодическую дробь. Таким образом, изображениями вновь введенных нами иррациональных чисел служат непериодические бесконечные дроби. Это представление также может быть отправной точкой для построения теории иррациональных чисел. [34]
Предположим, что каждое число представлено в виде бесконечной десятичной дроби. Ни человек, ни самая современная вычислительная машина не могут оперировать с бесконечными дробями. Поэтому на практике каждую такую дробь заменяют близкой к ней конечной десятичной дробью или подходящим рациональным числом. [35]
Как это делается, можно узнать из приводимых ниже мелким шрифтом рассуждений. Читатель, который найдет нужным познакомиться с этими рассуждениями, увидит, что арифметические действия над бесконечными дробями сопряжены с необходимостью совершать некоторые бесконечные процессы. На практике арифметические действия над действительными числами производятся приближенно. [36]
Итак, мы видим, что описанный выше процесс измерения произвольного отрезка ОМ числовой оси при помощи масштабного отрезка естественным образом приводит нас к рассмотрению чисел представимых в виде бесконечных десятичных дробей. Вместе с тем каждая бесконечная десятичная дробь (2.2) полностью характеризуется бесконечной совокупностью (2.1) рациональных чисел, приближающих эту дробь. Конечно, описанный выше процесс измерения отрезка ОМ можно видоизменить так, что он будет приводить к рассмотрению бесконечных двоичных дробей или к рассмотрению бесконечных дробей в любой другой системе счисления. [37]
Алгоритм последовательного умножения на основание системы, Этот алгоритм используется для перевода правильной дроби из одной системы счисления в другую. Дробь последовательно умножается на основание новой системы с отбрасыванием при каждом умножении целой части получаемого результата. Умножение продолжается до тех пор, пока дробная часть результата после очередного умножения не будет равна нулю. Если этого невозможно достичь ( бесконечная дробь), то процесс умножения обрывается на заданном шаге, определяемом точностью представления числа. Целые части результатов умножения составляют запись числа в новой системе счисления. [38]
Во всех рассмотренных нами до сих пор задачах мы работали только с целочисленными переменными, значениями которых могут быть лишь целые числа. На практике же чаще всего полученные при расчетах значения выражаются дробными, вещественными числами. Вещественные результаты часто получаются и тогда, когда исходными данными при вычислениях являются целые числа. Пи, которое, как известно, является бесконечной дробью. [39]
Из приведенной таблицы явствует, что все крупные модули, начиная с модуля 7, выражаются целым числом миллиметров. Согласно формуле ( 9), это приводит к размерам делительных диаметров колес в целых числах миллиметров. Последнее является удобным при расчерчивании колес, изготовлении и монтаже. Если бы, наоборот, при конструировании зубчатых колес стремились выбирать шаг зацепления в целых числах миллиметров, то, согласно формуле ( 8), не получили бы целого числа миллиметров в делительном диаметре и ввиду присутствия в знаменателе трансцендентного числа л этот диаметр получился бы выраженным в миллиметрах лишь приближенно, соответственно тому или другому приближенному значению, выбранному для числа я. Наоборот, при целом числе миллиметров в размерах модуля и диаметра делительной окружности значение для t получается в виде целого числа миллиметров с бесконечной дробью, которую следует оборвать на том или другом знаке в зависимости от точности расчета. [40]