Cтраница 4
Применив усиленный закон больших чисел к последовательности функций Радемахера, мы придем к знаменитой теореме Бореля о нормаль-ных числах: почти все числа единичного интервала разлагаются в двоичные дроби, содержащие одинаковое число нулей и единиц. Подобный же вывод справедлив для разложений в бесконечные дроби при любом основании г, отличном от 2 ( г - 3), и мы получаем, таким образом, теорему об абсолютно нормальных числах: почти все числа нормальны относительно всех оснований г одновременно. [46]
Обозначим через k ( х) функцию, значение которой в каждой точке х (: [ О, 1 ] равно / е-му знаку в разложении числа х в бесконечную двоичную дробь. [47]
Нетрудно видеть, что мы получаем хорошо известные двоичные ( или десятичные) дроби Точку на окружности ухватывает бесконечная последовательность дуг, возникающих при продолжающихся разбиениях, причем каждая дуга получается из предыдущей путем выбора одной из двух частей, на которые эта дуга была разделена при очередном нормальном разбиении; таким образом, точка окружности однозначно определяется бесконечной двоичной дробью. [48]
В общем случае после первого бита, в которем различаются х и г /, найдется узел ГЛ для 0, соответствующий каждому последующему, равному 1 биту х, и узел Q ] для 1, соответствующий каждому последующему, равному 0 биту у. Если у - конечная двоичная дробь, то должно быть внесено небольшое изменение: следует заменить 10 в конце у на 01, чтобы сделать сформулированное правило справедливым в общем случае. [49]
Приведенные в табл. 5.4 и 5.5 примеры оперируют с целыми двоичными числами. Алгоритмы умножения целых двоичных чисел и двоичных дробей отличаются только одним действием. При умножении дробей не нужно делать последнего сдвига вправо. [50]
Описанная процедура в действительности весьма проста. Что же касается дробной части, то на примере двоичных дробей можно было убедиться, что число может оказаться весьма длинным. Поэтому часто приходится прибегать к округлению. [51]