Cтраница 1
Метаматематика - это теория, изучающая формализованные математические теории. Формализованная теория-это, грубо говоря, множество некоторых конечных последовательностей символов, называемых формулами и термами, и множество некоторых простых операций, производимых над этими последовательностями. Формулы и термы, получаемые с помощью нескольких простых правил, служат заменой для предложений и функций интуитивной математической теории. Операции над формулами соответствуют элементарным шагам дедукции в математических рассуждениях. Формулы, соответствующие аксиомам интуитивной теории, играют особую роль - они являются аксиомами формализованной теории. [1]
Метаматематика этих первых доказательств была существенно классическая, теоретико-множественная с применением закона исключенного третьего. [2]
Метаматематика содержит в себе описание или определение формальных систем, а также исследование свойств формальных систем. [3]
Метаматематика - это теория, изучающая формализованные математические теории. Формализованная теория-это, грубо говоря, множество некоторых конечных последовательностей символов, называемых формулами и термами, и множество некоторых простых операций, производимых над этими последовательностями. Формулы и термы, получаемые с помощью pie - скольких простых правил, служат заменой для предложений и функций интуитивной математической теории. Операции над формулами соответствуют элементарным шагам дедукции в математических рассуждениях. Формулы, соответствующие аксиомам интуитивной теории, играют особую роль - они являются аксиомами формализованной теории. Формулы, которые могут быть выведены из аксиом посредством принятых операций, соответствуют теоремам теории. [4]
Кроме метаматематики, в теории опознания в настоящее время используются элементы теории вероятности, математической статистики, элементы теории линейных многомерных пространств и некоторые специальные разделы математики. [5]
Арифметизация метаматематики будет закончена в § 52 путем отображения обобщенной арифметики в обычную арифметику натуральных чисел. Оба результата будут вытекать из того, что некоторые арифметические предикаты, получающиеся путем отображения из метаматематических предикатов, являются примитивно-рекурсивными. [6]
Интерпретация побуждает метаматематика выбрать ту или иную формальную систему, которая вводится посредством определений. Она руководит им при выборе относящихся к этой системе проблем, которыми он будет заниматься. Она может даже доставить ему ключи, существенные для решения этих проблем. Только в окончательных формулировках и доказательствах он ( как метаматематик) должен отказаться от пользования интерпретацией. [7]
Метод арифметизации метаматематики был разработан Геделем в целях доказательства двух весьма общих теорем, выражающих тот факт, что всякий логико-математический формализм, с одной стороны, четко очерченный, а с другой стороны, не слишком узкий, является дедуктивно незавершенным. [8]
Но в метаматематике имеются также и вопросы, относящиеся к формальной системе в целом. [9]
Как ограничительные Теории метаматематики, так и теория вычислений говорят, что, как только возможность представлять собственную структуру достигает некоей критической точки, то пиши пропало - это гарантия того, что вы никогда не сможете представить себя полностью. [10]
Если мы придерживаемся классической метаматематики, то легко видеть, что ( РХ, С) является даже полной булевой алгеброй. [11]
Изучая эти предметы, метаматематика должна пользоваться своими собственными методами и орудиями. Последние можно выбирать как угодно, лишь бы они были финитны. Например, метаматематика может финитным способом употреблять натуральные числа. Если речь идет о формулах, допускающих ( за пределами метаматематики) финитную интерпретацию, то можно внутри метаматематики определить свойства таких формальных объектов, которые ( с точки зрения, внешней по отношению к метаматематике) эквивалентны интерпретациям этих формул. [12]
Тем не менее арифметизация метаматематики арифметического формализма позволит нам доказать одно наше ( сделанное при обсуждении парадокса Ришара) замечание3) относительно того, что условие, обозначенное нами посредством в), в случае арифметического формализма может быть удовлетворено. [13]
Исследование нефинитных методов в метаматематике переживает сейчас время интенсивного развития и далеко от завершения. Эта книга включает в себя не все исследования, проделанные в этой области. В частности, она не содержит теорию полиадических алгебр Халмоша и теорию цилиндрических алгебр Хенкина - Тарского - Томпсона. [14]
Прежде чем приступить к метаматематике, посмотрим, каким образом интерпретируется этот формализм в качестве исчисления предикатов. [15]